S. M. Leonhard Euler

S. M. Leonhard Euler

A pesar de la infinitud numérica, tenemos unos cuantos números elegantes, admirables, transcendentales, solventes e insolventes, luminosos y sobresalientes como los que voy a mostraros.

Entre ellos está la unidad, lo que le da invariancia a cualquier cosa multiplicada por él incluido él mismo, lo que cualquiera esperaría para subsistir cuando es dividido, la singularidad, la simpleza, la base natural, el principio de casi todo, nuestro 1.

Otro gran número al que le costó salir del armario, el 0; su presencia es inadvertida, su multiplicación desintegra, la división por él multiplica hasta los confines del cosmos y cuando se divide a si mismo, puede pasar cualquier cosa, un número que nació de la nada.

Este número es un irracional, sin conocimiento alguno, un hecho probado por el que le asignó su identidad, su nombre, la letra que lo designará por siglos, el que aparece en la normalidad más normal, en los intereses más compuestos o en la mayoría de las fronteras, ese es e, 2.7182818284590452… el resultado de infinitas adiciones de inversiones factoriales.

Y ahora mi favorito, π, la relación de lo incor-recto, lo que aparece en el sitio menos pensado incluso donde no hay curvas, el que cuando contamos 3 para hacer algo, todavía le queda .14159265358979323846 para empezar y nunca empezaríamos, el que el ser humano empeña su esfuerzo en conocer su fin sabiendo que no lo tiene, la transcendencia conyugal perpetua con e.

Por último, un número que no es número, su complejidad no le permite compartir espacio con la naturalidad o la realidad; su imaginación es inimaginable y sus raíces están basadas en aspectos negativos, pero a pesar de esto, sus primos naturales lo ponen siempre en un buen sitio en espera que algún día pueda salvarlos de su misterio.

Pues este es el equipo que eligió S. M. Leonhard Euler para generar su obra maestra de la formulación, obra en la que cada miembro del equipo tiene su puesto, tiene su función, tiene su trabajo, acompasados y anexados por una sublime igualdad.

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¿Habrá mayor belleza en esta igualdad? ¿Se puede ser más perfecto? ¿Pensaría algún matemático en algún momento de su vida que esto era posible?

Pues sí, ¿Quién iba a decir que la complejidad podría expresarse exponencialmente simple?

La función Phi de Euler

La función Phi de Euler
De Euler me gusta todo, su  vida entera es un monumento intelectual a nuestra civilización. Hoy voy a mostraros una de las prendas de este gran genio y es la función φ de Euler.
Lo primero que debemos saber es que son números coprimos; dos números son coprimos si su máximo común divisor es 1 es decir que no hay ningún número menor que ambos excepto el 1 por el que se puedan dividir ambos.
Pues lo primero que se dió cuenta Euler es que todo número primo tiene p-1 números corpimos con él, ¿no? Si es un número primo quiere decir que solo es divisible por si mismo o por la unidad, de modo que todos los números menores que él son corpimos con este.
Paso siguiente, cuantos coprimos tiene un número primo pk?
Pues no se le ocurre otra cosa que pensar que si un número primo tiene p-1 coprimos, tiene que haber pk-1 que no lo son, por tanto
FiEuler01
y como consecuencia, debe funcionar de igual modo para la función phi de p.
Un poco más, demostró que cumple la función multiplicativa y esto quiere decir que la φ(mn)(m)(n) por tanto un número descompuesto en factores primos, es posible conocer los números coprimos que tiene, desarrollando queda la siguiente joya matemática
PhiEuler02
y con un ejemplo práctico, el número 675 tiene 24 números coprimos menores que él.
FiEuler03
Algún día, después de miles de años, aparecerá otro genio como él para determinar
π(x) o la cantidad de números primos menores que un número, algún día.

Campana sobre campana

Campana sobre campana
Campana sobre campana es un villancico de Navidad el cual todos habremos cantado alguna vez. Y ¿por qué hablamos del villancico de las campanas?
Hablamos de la normalidad, de que estamos inmersos en campanas, de que todo es una campana sobre campana y explico por qué.
campana
Todos sabemos que es la media aritmética, o matemáticamente se trata del cociente del sumatorio de unos valores dividido entre el número de valores. Con esto nos bastaría decir por ejemplo que la media de edad en una empresa es de por ejemplo 35,4 años si sumáramos las edades de todos los componentes y la dividiéramos entre el número de estos.
Por otra parte, cuando hablamos de desviación, hablamos del promedio de desviación que existe entre la media aritmética y todos los valores. Por ejemplo si la edad mínima es de 22 años y la máxima de 55, el promedio es 37 y la desviación 14, indica que las edades son dispares, es decir hay mucha gente con poca edad y mucha gente con mucha edad, indicándonos que la media es de 37 pero que existe un promedio de desviación alto. Si la desviación fuera 1, indicaría que existe mucha gente con 37 años o muy cercana a esa edad.Bien, pues la normalidad, se trata de que cuando el número de muestras, o el número de componentes de una empresa tendiera a infinito, se formaría una campana o seguiría una distribución normal donde la media aritmética estaría representada en el centro de la campana, estando a la derecha los niveles superiores y a la izquierda los inferiores a la media. Si la desviación es grande, la campana será más achatada o platicúrtica, mientras que si la desviación es pequeña, la campana será afilada o leptocúrtica o cuando la distribución es normal, el tipo de curtósis se llama mesocúrtica. Al igual que si tiráramos una moneda al aire infinitas veces, el porcentaje de caras y cruces sería el mismo, cualquier sumatorio de variable aleatoria cuando es un suficientemente grande, sigue una distribución normal.Curtosis
¿Y para qué sirve esto?
La distribución normal además de usarse para modelos estadísticos, se usa en probabilidad y muchos más aspectos de nuestra vida cotidiana de lo que nosotros nos pensamos como la producción, transporte, marketing, economía, etc., de modo que conociendo la distribución normal de una muestra, podemos determinar la probabilidad de que se produzca un hecho en nuestra muestra o conociendo su posición en la campana, podemos conocer el número de casos que se pueden dar. Una curiosidad es que el área encerrada bajo la curva es igual a 1, por eso podemos calcular fácilmente la probabilidad, porque lo que está contenido en la curva es todo el espectro de sucesos o el 100% de casos.

Ejemplos que podríamos aplicar la probabilidad.
Una bombilla tiene un promedio de 5000 horas de vida y una desviación de 100 horas, podríamos calcular la probabilidad de que luzca más de 6000 horas o la probabilidad de que luzca menos de 4000.
Una red de ambulancias de una ciudad tiene un promedio de llegada a un centro sanitario de 30 minutos con una desviación de 5 minutos, podríamos calcular la probabilidad de que las ambulancias lleguen entre 15 y 20 minutos.
Otro ejemplo, en producción, la distribución normal es muy útil. Una empresa farmacéutica produce pastillas de 10mm de diámetro medio con una desviación de 0,5mm. Si la pastilla tiene 9,3mm o 11,5mm de diámetro se rechaza. ¿Qué probabilidad tenemos de que se produzcan pastillas en condiciones óptimas?

Mil ejemplos podría ponerse, de modo que podrían calcularse pérdidas, ganancias, optimizaciones materiales o temporales, etc. en base a la probabilidad.

Concluyendo, somos campanas sobre campanas. En nuestro desorden, todo tiene un orden. Esto se lo debemos entre otros al gran matemático Carl Friedrich Gauss, de ahí el nombre de campana de Gauss.

Planilandia

Planilandia

Allá por el año 1884 un escritor apodado A.Square (un cuadrado), escribió una novela fantástica y muy novedosa para sus tiempos. Uno de los aspectos principales de la novela, es que además de expresar contenido matemático sin formulación alguna, satiriza los valores de la epoca (hablamos del siglo XIX) especialmente el trato a la mujer. Este escritor anónimo tiene nombre y es  Edwin A. Abbott, un pastor inglés amante de las matemáticas y estudioso de Shakespeare.

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Geométricamente, la novela trata de un país alojado en un mundo bidimensional, donde las perspectivas visuales y geométricas desde ese mundo y vistas desde un mundo tridimensional, hacen pensar al lector un poco más allá. En ese pais bidimensional, como es lógico no existe la tercera dimensión, es decir la altura, de modo que todo es plano. Nos relata en el libro el autor que si colocamos una moneda en una mesa y observamos la moneda al ras de esta, estaríamos efectuando una perspectiva de dos dimensiones, pero jamás apreciaríamos las curvas de la moneda, la circunferencia de la moneda, ya que nuestra visión solo apreciaría una línea recta incluso cambiando el ángulo de visión (siempre a ras de la mesa); la única manera de detectar curvas, es mediante sombras que nos hagan vislumbrar zonas más alejadas de la luz o elevar nuestra perspectiva hasta una tercera y ver ese mundo desde la altura pudiendo ver el interior de los objetos bidimensionales, si, si, ver en su interior. Una círculo visto desde la altura, el hueco alojado en su interior es posible visualizarlo, cosa que un ser de dos dimensiones no puede hacer mientras que no intervenga quirúrgicamente a esta.

Durante la novela, narra el paso de un objeto tridimensional a través de las dos dimensiones, de modo que una esfera al pasar por un plano, es visualizado por un habitante de Planilandia primero como un punto (el polo inferior de la esfera), posteriormente verá una recta pequeña, una recta creciendo hasta el ecuador de la esfera y luego esta recta decrece hasta convertirse en un punto (polo superior de la esfera); que raro, ¿no? para un ser bidimensional, el paso de un ser tridimensional por su país, ha provocado que este pensará que un fantasma ha pasado. Por otra parte, un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etc que vivieran en Planilandia, sus vísceras si las tuvieran, son observadas desde la altura por la esfera. Del mismo modo, si existiera un pais de cuatro dimensiones llamado “FourLand“, un objeto de este país que atravesará nuestras tres dimensiones haría que cualquiera de nosotros que vieramos este objeto atravesar nuestro ancho, largo y alto, haría de nosotros un cliente del programa Cuarto Milenio, porque seguramente veríamos un objeto variando su tamaño y forma sin motivo alguno (como le pasó al ser bidimensional viendo la esfera); de aquí cuando en las películas hacen referencia a la cuarta dimensión como algo del más allá sin tener en cuenta el aspecto puramente geométrico.

Cuando hablo de este tema, siempre me gusta hacer referencia a la formación de objetos cuando cambiamos de dimensión. Si pudiéramos estirar un punto en un mundo sin dimensiones a una dimensión, formaríamos una recta donde los objetos solo tendrían una sola vía de movimiento, a un lado u otro. Si cogemos esta recta en toda su longitud y la estiramos hacia dos dimensiones, se formaría un plano (Planilandia), los objetos de este mundo, podrían moverse en cualquier posición del plano, si el plano lo estiramos hacia la altura, lo convertimos en un cubo pasando a ser un objeto de tres dimensiones, pero… si ese objeto lo estiramos hasta esa cuarta dimensión… ¿que ocurrirá? pues no lo sabemos (bueno su nombre si, hipercubo o teseracto), pero lo que si sabemos es como se ve un cubo visto desde 2D, por tanto si podríamos ver como se vería un objeto 4D en nuestras 3D y esto está representado por ejemplo en el monumento a la Constitución de 1978 en Madrid, teseracto de Dalí, el teseracto construido en el agujero negro en la película interestelar,

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Monumento a la Constitución de 1978

Volviendo al libro. Otro aspecto curioso del libro es la sátira con la que dibuja el autor a la sociedad de entonces. El número de vértices de los objetos bidimensionales, indica el grado de intelectualidad de estos, de modo que las mujeres, tal y como eran tratadas entonces, eran rectas, las clases bajas triángulos, si estos eran triángulos isósceles muy agudos, eran soldados y la clase media triángulo equiláteros, los caballeros cuadrados y según aumentaba en número de vértices, las objetos eran más distinguidos socialmente, hexágonos nobleza y los sacerdotes casi círculos cuando el número de vértices y lados era muy elevado. Sobre las mujeres de Planilandia, dice el libro textualmente:

1. Las casas tienen que tener todas una entrada en el lado este para uso exclusivo de las mujeres; todas las mujeres han de entrar por ella «de una forma apropiada y respetuosa» y no por la puerta oeste o de los hombres.

2. Ninguna mujer entrará en un lugar público sin emitir de forma continua su «grito de paz» bajo pena de muerte.

3. Toda mujer de la que se certifique oficialmente que padece del baile de san Vito, de ataques, de catarro crónico acompañado de estornudos violentos, será inmediatamente destruida. En algunos estados hay una ley suplementaria que prohíbe a las mujeres, bajo pena de muerte, andar o estar paradas en un lugar público sin mover la espalda constantemente de derecha a izquierda, para indicar su presencia a los que están detrás de ellas; en otros estados se obliga a las mujeres a que vayan seguidas, cuando viajan, de uno de sus hijos, o de algún criado, o de su marido; otros las confinan completamente a sus casas, salvo durante las festividades religiosas. Pero los más sabios de nuestros círculos, es decir, de nuestros estadistas, han descubierto que multiplicar las restricciones que se aplican a las mujeres no sólo lleva al debilitamiento y la disminución de la especie sino que incrementa también el número de asesinatos domésticos, hasta tal punto que el estado pierde más de lo que gana con un código demasiado represivo.

Esta caracterización de la mujer del siglo XIX,  o a los objetos con más vértices, no es otra que una sátira hacia la sociedad de su pais natal, Abbot a lo largo de su vida, destaca con diferencia las capacidades intelectuales del ser humano sin distinción alguna de sexo, en definitiva, un hombre adelantado a su tiempo geométrica y socialmente.

Les dejo un enlace donde descargar el libro en pdf por si les apetece leerlo, 58 páginas que en una tarde se leen y la peli en inglés.

 

Flatland, un mundo de muchas dimensiones

Las probabilidades en los juegos de azar

Las probabilidades en los juegos de azar
Antes de comenzar este artículo, me gustaría hacer referencia al libro con el cual he escrito gran parte de este artículo llamado Anatomía del Juego escrito por el matemático Miguel Córdoba, un libro interesantísimo y apasionante para los amantes de las matemáticas.
anatomia del juego
Para comenzar con el artículo, no es mi pretensión convencerlos para que no jueguen, pero si calculamos la probabilidad para que nos toque un premio en un juego, me parece que es mejor gastarnos el dinero tomando una cerveza con tapita con los amigos de tertulia que seguro la disfrutaremos más. No voy a martirizarles con cálculos matemáticos, pero si les mostraré los resultados de estos.Por ejemplo, la famosa Lotería de Navidad tiene un 84,696% de perder lo que se apuesta, un 10% de no ganar nada con el reintegro y un 5,3% de ganar algo; que toque el gordo tiene una probabilidad de 0.001%. Por otra parte, la probabilidad de que toque el mismo número al año siguiente es de 0,001*0,001 o 0,000001%, esto último quiere decir que la probabilidad es ínfima, pero no quiere decir que no pueda tocar, pero como no ha salido nunca, yo no compraría el número del año anterior.La Lotería del Niño tiene un 62,188% de probabilidad de perder lo apostado, un 30% de no ganar nada y un 7,81% de ganar algo.La Lotería Nacional semanal, tiene un 35,8% de ganar algo mientras que un 64,15% de perderlo.Si tuviéramos que jugar a alguna de estas tres,azar01

podemos deducir que la lotería del Niño es “la que toca más” puesto que tiene más probabilidad de ganar algo y menos probabilidad de perder lo jugado.

En la Lotería Primitiva la suerte se vuelven en contra, ya que la probabilidad de acertar una de 3 es de un 1,7%, una de 4 de un 0,09686%, de 5 0,001845% y la de 6 un 0,0000072%!!!!!, (y luego jugamos). La probabilidad de reintegro es de un 10%. Con todo esto, el 88,13% de los boletos, se van a quedar sin premio! (Eso sí, los premios son mucho más grandes, estaría bueno que no)

Para el bingo, la probabilidad de que nos toque depende del número de jugadores, de modo que si hemos comprado 3 cartones y se juegan 130, la probabilidad será de 3/130 o de un 2,3%. (El bingo esconde matemáticas muy complejas en su interior, no solo este sencillo cálculo).

Una curiosidad del bingo, ¿sobre qué bola se canta línea o bingo? Esto depende del número de cartones, como media con 10 cartones, se necesitarían una media de 77 números para cantar bingo, si pasamos a 100 cartones, el número de bolas pasaría a 67 de media y para que se cante un bingo con menos de 40 bolas, sería necesario una media de un 1 millón de jugadores. Por ejemplo, en cuatro partidas reales de bingo consecutivas donde se jugaron unos 280 cartones de media, ocurrió esto:

  • 1ª partida. Línea en la bola 29. Bingo en la bola 63
  • 2ª partida. Línea en la bola 18. Bingo en la bola 66
  • 3ª partida. Línea en la bola 21. Bingo en la bola 65
  • 4ª partida. Línea en la bola 33. Bingo en la bola 65

La partida 1º y 4ª se cantó la línea un poco más tarde, ya que debe hacerse para ese número de cartones entre la 21 y la 25 más o menos, pero bueno, lo que nos importa es el bingo que se acerca mucho a nuestras previsiones, es decir, que se cumple lo que una distribución normal nos muestra para el número de cartones.

Los bingos suelen jugar un bingo acumulado que se gana cuando se canta bingo por debajo de una bola concreta, que normalmente suele ser la bola nº55, es decir que si el jugador canta bingo antes de que pasen 55 bolas se lleva el ganado y el acumulado, pero la probabilidad de que ocurra esto es bajísima, por lo que suelen ser altos estos bingos como consecuencia de acumular dinero partida tras partida. (Tengo otro artículo dedicado a la probabilidad del bingo que les paso en el siguiente enlace).

Una vez escribí un artículo titulado ¿lotería o salud?, en el que realizaba una comparación sobre la probabilidad de morirse o la de recibir un premio en la Lotería, o lo que es los mismo, cuando decimos “por lo menos tenemos salud”, hablamos con propiedad y efectivamente, la probabilidad de morirse es más alta en un país como España donde tenemos una esperanza de vida muy alta (la segunda mejor del mundo después de Japón!), que la probabilidad de recibir un premio, por tanto y visto lo visto, cada cual que lo piense.

Alguien una vez escribió: “Las loterías son un impuesto del gobierno al desconocimiento de las matemáticas”

Probabilidad en el bingo

Probabilidad en el bingo
En una partida de bingo existen muchas matemáticas escondidas, la más clara es la probabilidad que tenemos para que nos toque un bingo en una partida y es fácil, o lo que es lo mismo al cociente del número de casos posibles, es decir el número de cartones que jugamos y el número de casos totales o el número total de cartones jugados. Si yo juego 2 cartones y se han vendido 200 cartones, tengo un 1% de probabilidad que me toque el bingo, pero existe otra probabilidad más curiosa;
¿podemos preguntarnos ¿Qué probabilidad existe que se cante bingo en una determinada bola? en otras palabras que probabilidad existe para que algún jugador cante bingo en la bola 57.
Pues esto se calcula mediante la distribución hipergeométrica para un solo cartón, mediante la siguiente ecuación siendo N la cantidad de números extraídos y n el número de aciertos, o sea 15 que son los que tiene un cartón para obtener un bingo:
bingo01
(con esto podríamos calcular también la probabilidad de acertar 6 números en la bola 40 por ejemplo)

Por ejemplo la probabilidad para un cartón de cantar bingo en la bola 65, sería de 0,00452826 o de un 0,45% para un cartón jugado, por tanto

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A continuación un ejemplo de distribución hipergeométrica para 250 y 1000 cartones (en azul y rojo respectivamente) en el que se aprecia que para el caso de 250 a partir de la bola 63 estamos jugando a la cara o cruz (50%) mientras que para 1000 cartones, se produce este efecto en la bola 58.

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En base a la teoría, vamos a ver un caso real de partidas de bingo en el que se puede apreciar la probabilidad que existía de cantar bingo en cada partida

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Y el número de bola en el que se cantó bingo en cada una de estas partidas.

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En azul podemos apreciar la probabilidad que existía en cada partida para alguien que cantó un bingo. El bingo más tempranero, lo encontramos con la bola 52 con un 2,8% de probabilidad y el más tardío con la bola 71 y un 99,57% (Sí o sí). Para el más tempranero, en una situación real de un bingo comercial, es posible que el jugador además de optar al premio de bingo, lo hiciera también al bingo acumulado, ya que en una sala comercial suele estar en ese entorno de extracciones.

Para finalizar y siguiendo con el tema bonguero, les obsequio con una aplicación desarrollada por un servidor y que como no puede ser de otro modo, se trata de un bingo.
bingo01

Entre otras características se pueden enunciar:

  • Interfaz en español e inglés
  • Interfaz gráfica Windows 10
  • Alta visualización del panel numérico, número extraído y últimos números
  • Sencillez de uso mediante control de un solo botón
  • Dictado automatizado de recaudación y expresiones de bingo
  • Configuración predeterminada. Por defecto tiene opciones válidas de juego para ambos idiomas
  • Inclusión de otro tipo de recaudaciones o premios configurables
  • Configuración avanzada. Permite configurar datos de la aplicación , voces, expresiones dictadas por la aplicación o impresión de cartones
  • Inclusión de expresiones configurables por el usuario sobre los números que se van cantando durante la partida, por ejemplo 22 los patitos, 90 el abuelo, 5 por el…, etc. Los que uno quiera 😉
  • Cálculo de progresión de partida y probabilidad de obtención de bingo.
  • Manual de ayuda

La pueden descargar gratuitamente desde mi página WEB wakicode.com, y donde pueden encontrar el enlace de descarga al final del último artículo. Las mates y el desarrollo de software que bien se llevan 😉 !!

Existe un fantástico libro escrito por el matemático Miguel Córdoba Bueno llamado Anatomía del Juego en el que pueden ver y disfrutar el desarrollo matemático de los resultados y del que en otro momento les haré un pequeño resumen sobre las probabilidades de los juegos de azar.

anatomia del juego

El hotel infinito de Hilbert

El hotel infinito de Hilbert
Hilbert fue un ilustre matemático alemán del siglo XIX y XX que con una paradoja intentó explicar el significado del infinito.

Hilbert

Dice la paradoja que dos empresarios hoteleros pensaban construir un hotel gigantesco, de modo que tras largas conversaciones, decidieron construir un hotel con infinitas habitaciones. Una vez que lo abrieron, el hotel se llenó de gente, de infinita gente, lo que llevó a ser un gran problema entonces a partir de ese momento se les pidió a todos los huéspedes que se alojaban que existía una condición inicial al alojarse y era que si se les solicitaba cambiar de habitación, tendrían que hacerlo.
Estando el hotel lleno con un cartel en la puerta, llegó un huésped nuevo, pasó y solicitó habitación, a pesar de estar lleno, el recepcionista indicó a todos los huéspedes que se pasaran a la habitación con un número más que la que tenían, una vez hecho esto, la habitación número 1 quedó libre y pudo alojar al nuevo huésped. Por supuesto el último huésped pasó a la habitación más uno de la que tenía, porque no hay una última habitación (es infinito).Al día siguiente, llegó una excursión de infinitos excursionistas y había que alojarlos, de modo el recepcionista de nuevo llamó a los clientes por los altavoces y les pidió que se pasaran al número de habitación que tenían multiplicado por 2, así el que tenía la 8 pasaba a la 16, el de la 9 a la 18 y así hasta el infinito. Con esto consiguió que todas la habitaciones impares quedaran libres y pudo alojar a los turistas. (Esto explica que existen infinitos números pares e infinitos números impares)Al día siguiente vino un agente con infinitas excursiones e infinitos excursionistas en cada excursión y en este caso el ilustrado recepcionista para alojar a todo el personal, comunicó a las habitaciones que tuvieran un número primo o fuera una potencia de este y les pidió que elevaran el número 2 al número de habitación (2^(p^n )) y esa sería la habitación de destino a los huéspedes alojados, con esto consiguió que todos los clientes ocuparan una habitación par mientras que para los que tenía que alojar le asignó un número primo a cada excursión distinto de 2 y a cada turista un número impar y la habitación se calculaba elevando el número de excursión a este número impar (p^m). Como existen infinitos números primos (Euclides los demostró de una manera asombrosa) e infinitos números impares, los clientes pudieron alojarse en el Hotel Infinito.
moebius
Con esto podemos obtener que el infinito, contiene más infinitos además de que existen infinitos más pequeños o más grandes que otros infinitosLa banda o cinta de Möbius es una cinta plana con una sola cara y un solo borde descubierta por el matemático también alemán Möbius y aunque pensemos que el símbolo del infinito proviene de esta forma, parece ser que no es así, que podría serlo, pero no lo es, ya que un siglo antes ya hubo matemáticos que usaban este símbolo (∞) la cual procede de una figura producto de una función de grado cuarto llamada lemniscata que tiene esa forma.

lemniscata

Como curiosidad, la forma de la imagen de reciclado es una cinta de Möbius simbolizando un proceso sin fin.

reciclar
Para terminar con el infinito, una vez vi una imagen de un alumno en un examen que no se si era verdad, pero si lo fue, era para ponerle un 10.
La pregunta era si un límite de una función que tiende a 8 su resultado era infinito que ocurría con el siguiente límite.

limite1entonces limite2

Un artista!