Julio Rey Pastor fue un ilustre matemático logroñés cuyos innumerables trabajos son dignos de dedicación de mil artículos. Respecto a las ternas pitagóricas recordé en twitter un método de Rey Pastor para obtenerlas (no todas) que me parece bellísimo, pero un fallo de paridad en la transmisión de datos desde mi memoria a mi tablet, provocó una equivocación y no incluí los cuadrados de los factores primos, jeje, menos mal que twitter no está vacío y siempre hay alguien que se percate de ello, lo agradezco aunque sea un simple twitt, hablando de matemáticas no hay lugar al error.
El método está basado en una ecuación diofántica donde el resultado impar que pueda ser descompuesto en factores impares es tratado de la siguiente forma:
La demostración
Pues con este método podemos obtener múltiples ternas simplemente iterando por factores impares cuyo resultado sea impar.
¿Cual de los tres términos es mayor? Es evidente que de los dos términos que calculamos la suma es mayor que la diferencia, es decir que b>a
ya que sabemos que b>a, ¿c, el producto de ambos factores, es mayor que b? supongamos que esto es asi, de modo que
desarrollando llegamos al absurdo
ya que
con la demostración del orden de los términos, sabemos que la terna es
Si queremos obtener todas las ternas, habría que usar métodos adicionales
En el principio, el Cero creó la dimensión de su nombre. Su mundo era un solo punto. Todo estaba oscuro y vacío, no había lugar ni para el espacio. En el segundo día, el Cero estiró la dimensión de su nombre y creó la dimensión 1, la luz se extendió en una larga e infinita línea iluminando un pasillo sin final. Al tercer día, el Cero eligió un lugar al azar en la línea, apuntó con un haz de luz en él para indicar el lugar donde las criaturas de su obra deberían buscarle, orarle y adorarle. Al cuarto día, el Cero creó la Unidad, fue el primer número natural de todos y lo ubicó a su derecha, a una distancia prudencial. La Unidad era un número alto y sobrio, tenía un tono marrón y una nariz aguileña, quien lo viera por primera vez diría que no habría alguien como él, que sería único simplemente por su aspecto. Cuando despertó la Unidad, se encontró aturdido y perdido, no podía moverse, no podía ver nada a su izquierda y su derecha. Al quinto día el Cero creó los poderes básicos de los naturales, para lo cual y con una voz bronca adornada con un eco de corta respuesta, como si desde la boca de un pozo se lanzara a la superficie del agua, pausando cada palabra en la frase para que la claridad no tuviera lugar a la duda posterior, bramó su primer mandamiento:
Mandamiento a.
—Yo lo soy todo y nada. Cualquiera que se sume a mí, no tendrá efecto y al mismo tiempo, será él mismo —Hizo una pausa y continuó.
Mandamiento b.
—Cualquiera que quiera ser como yo, que intente imitarme o copiarme, no podrá y se encontrará conmigo
La Unidad quedó desconcertada y sorprendida al mismo tiempo, fueron las primeras palabras que oyó y entendió en su nacimiento en ese mundo solitario. Aquellas palabras quedaron grabadas en su memoria como la tinta de una prensa de imprenta que en el papel impregnó.
El Cero de nuevo clamó con la misma velocidad calmada en sus palabras, pero esta vez dirigiéndose a la Unidad:
Mandamiento c.
—Tú eres la Unidad, cualquiera que intente imitarte o copiarte, no podrá y recibirá respuesta de él mismo.
La Unidad intentó adivinar presencia de algo o alguien a su derecha e izquierda buscando la procedencia de aquellas palabras, las cuales a pesar de quedar grabadas en su memoria, no llegaba a entender ni concebir su significado.
Mandamiento d.
—Desde la nada y el todo te habla tu Creador, el Cero, tú eres la Unidad y estás en el mundo de la dimensión de tu nombre, primer número de todos los números. Recuerda que siempre habrá alguien mayor que tú. Siempre habrá alguien mayor que cualquiera de tus sucesores. Tú estarás sentado a mi derecha, nadie más.
Hizo una pausa larga y continuó:
Mandamiento e.
—Aquel que te acompañe a tu derecha y sea acompañado del igual modo, estará de su predecesor tan cerca como tú de mí.
Mandamiento f.
—Todos tus sucesores dependerán de su predecesor y de ti.
Espero unos segundos y continuó:
Mandamiento g.
—Llenarás el mundo y jamás lo completarás.
Mandamiento h.
—Cualquiera que se sume a ti, se alejará tanto como tú de mí.
La Unidad con total desconcierto buscando de nuevo la procedencia de aquellas palabras, exclamó sin elegir un destino a su verbo:
—Cero mi Creador, tus frases son inconcebibles para mí. No entiendo tus mandamientos, mi soledad en este lugar no me permite alcanzar e interpretar mi futura descendencia, ¿Dónde están? ¿Cómo puedo entender que quieran copiarme si no hay nadie nada más que yo que pueda hacerlo? ¿Cómo puedo entender que eres todo y nada, que llenaré este mundo y no lo completaré?, ¿Que siempre habrá alguien mayor que yo si no hay nadie?, ¿Qué mi sucesor estará tan cerca de mi si solo veo soledad?
—No te preocupes, pronto entenderás todo. Atiende y no olvides mis mandamientos —contestó el Creador Cero.
Mandamiento i.
—Tu Creador está tan cerca de ti como tú eres.
Mandamiento j.
—Reprodúcete, el futuro depende del pasado.
Cero dejó de relatar mandamientos y cuando la Unidad advirtió una larga pausa en la que ausencia de palabras era previsible, exclamó:
Sin recibir respuesta, la Unidad tomó aquellas palabras, aquellos últimos mandamientos aún peor en entendimiento que los primeros, su caos mental le impedía reordenar los conceptos, en su soledad mono dimensional, la incoherencia de la interpretación de los mandamientos, le impedía analizar el contenido.
Sus sueños entraban en bucle y se repetían en su cerebro de una dimensión «cualquiera que se sume a ti, se alejará tanto como tú de mí…, mis sucesores estarán tan cerca de mí como yo de él, tu creador está tan cerca de ti como tú eres…Reprodúcete, el futuro…»
A la mañana siguiente después de una larga noche en la que él único sueño fue dueño de su mente, comenzó de nuevo a repasar los mandamientos, pero esta vez comenzó desde atrás:
«Reprodúcete, el futuro depende del pasado.», pensaba la Unidad
Estaba claro que con la reproducción, se obtenía el futuro que además dependía del pasado, como si recurrentemente se le añadiera alguna sazón con la misma medida a una comida usando como receta la anterior comida.
Repitió el Mandamiento j otra vez. Recordó de nuevo el e, donde los acompañantes estaban tan cerca de él como él de su creador. Las piezas estaban pero no lograban encajar. Refrescó su memoria con el mandamiento i. Por último se preguntó ¿quién soy? Volvió definitivamente al c y como si la luz se hubiera encendido, gritó
— ¡Soy la Unidad! ¡Si soy el primero y no hay nadie más en este mundo, estoy a una Unidad de distancia de mi creador!
La Unidad empezó a entender que cada palabra de cada uno de los mandamientos no estaba escogida al azar.
Nunca he tenido duda, las matemáticas nos rodean por doquier. Todo nuestro bienestar, todo el nivel evolutivo que disfrutamos, se lo debemos a las matemáticas. Miremos a nuestro alrededor, el agua que bebemos está almacenada en embalses, un embalse está lleno no de agua sino de matemáticas, la producción de cualquier artículo tiene ocultas cientos de ecuaciones, desde optimización, grafos o probabilidades, la logística actual, el flujo de materiales, alimentos o todo lo que usamos en este mundo evolucionado está reglado de igual modo por las matemáticas, ¿que sería de los transportes sin grafos?, la economía actual es una disciplina más diría yo de estas, la medicina, psicología, como no la informática, la ingeniería, unas gafas, un coche, un teléfono móvil, un lo que sea ha llegado a nuestras manos gracias a que hemos podido calcular su creación, almacenaje y distribución; la carrera espacial no se queda atrás, ¿quien diría a principios del siglo XX que podríamos calcular la trayectoria desde nuestro planeta a cualquier punto del sistema solar con una alta precisión? y así, podríamos estar hablando de las matemáticas hasta el infinito 😉
El eterno dilema si las matemáticas son creadas o descubiertas, es un tema tratado en multitud de ocasiones pero en ambos casos existe un denominador común, los matemáticos, aquellos hoombres o mujeres que las crean o las descubren, me da igual, pero gracias a su intelecto, a ese precioso regalo que la genética les ha proporcionado, han podido crear o descubrir algo tan maravilloso como las matemáticas.
Todos ell@s, han dedicado sus vidas a las matemáticas en tiempos dificiles en los que el mero hecho de encontrar papel para mostrar sus pensamientos era un problema, encontrar un poca de luz en las oscuras noches o exponer sus hallazgos en los que podría tratársele de un mago demoníaco o un hereje, pues estos seres humanos con esa visión tan particular son los verdaderos artífices de tener a dia de hoy las comodidades o los avances tecnológicos de las que disponemos.
Es por ello en mi afán por conocerlos, porque realmente me entusiasma ver a alguien aunque sea en una foto mirándole su cabeza como si quisiera absorver sus conocimientos simplemente con la mirada, así que en ese afán de búsqueda encontré una página llamada Mac Tutor de la Universidad de St Andrews en Escocia, al principio me asombró ver que la información era amplia y además era actualizada, de modo que comprobé los términos de propiedad intelectual y derechos de autor y cual fue mi sorpresa que usaban una licencia Creative Commons del tipo CC BY-SA 4.0 de modo que se pueden redistribuir los contenidos bajo los mismo términos, así que me puse manos a la obra y recopilé la información, traduje y los adapté sin modificarlos ¿con que fin? con el de hacer una aplicación para móvil donde pudiesen consultarse las biografías, ver sus fotos y saber que han hecho. Un dia navegando por twitter vi que alguien mostraba las imágenes de dos matemáticos y preguntaba por sus nombres, luego pensé, ¿y si le añado un juego a mi aplicación donde puedas demostrar tu destreza sobre el conocimiento de estos? pues lo incluí.
He desarrollado una clase que nos va a permitir calcular millones de ellos y que podéis descargar desde wakicode, está desarrollada con Kotlin y con un i7 8700 tarda aproximadamente unos 7 minutos en obtener unos 10.00.000 de decimales, con un i7 6500 unos 26 segundos en obtener 1.000.000, los 10.000.000 con el i7 6500 se van a los 15 minutos casi.
En el primer millón los dígitos del 0 al 9 se repiten
Número 0: 99805
Número 1: 99994
Número 2: 99529 –
Número 3: 99833
Número 4: 100151
Número 5: 100068
Número 6: 100328 +
Número 7: 100160
Número 8: 100236
Número 9: 99898
las cifras de dos dígitos iguales
Número 00: 8956 –
Número 11: 9075
Número 22: 9095
Número 33: 9099
Número 44: 9146 +
Número 55: 9129
Número 66: 9035
Número 77: 9121
Número 88: 9067
Número 99: 9105
las cifras de tres dígitos iguales
Número 000: 860 –
Número 111: 887
Número 222: 880
Número 333: 906
Número 444: 908
Número 555: 918
Número 666: 910
Número 777: 941 +
Número 888: 872
Número 999: 910
y las de 4 dígitos iguales
Número 0000: 75 –
Número 1111: 93
Número 2222: 112 +
Número 3333: 102
Número 4444: 84
Número 5555: 98
Número 6666: 89
Número 7777: 79
Número 8888: 107
Número 9999: 100
y escogiendo 10 números aleatorios de 3 dígitos
Número 411: 959
Número 366: 989
Número 867: 1027
Número 290: 951
Número 395: 980
Número 957: 951
Número 165: 984
Número 762: 954
Número 476: 1058
Número 330: 982
aproximadamente aparecen todos con la misma frecuencia tendiendo esta a ser igual por cualquier número de ellos como es lógico.
De hecho si la probabilidad de obtener por ejemplo un 4 cogiendo un decimal aleatorio es de un 10%, escoger un dígito sobre los 10 del sistema decimal, P(4)= 1/10, lo que indica que debería haber un 10% (unos 100.000) de los dígitos con un 4 caso que se acerca mucho, 100151 y cuanto más grande sea la cifra o mayor la población más se acercará a esta probabilidad.
Para el caso de 2 dígitos, la probabilidad sería P(44) = P(4)∩P(4)=(1/10)(1/10)=1/100 => 1%, debería aproximadamente unos 10000, hay 9146.
Para el caso de 3 dígitos, la probabilidad sería P(444)=P(4)∩P(4)∩P(4)=(1/10)(1/10)(1/10)=1/1000 => 0.1%, debería aproximadamente unos 1000, hay 908 y el caso de 4 cifras un 0.01%, unos 100 debería haber y hay 84.
Por último, la probabilidad de que que exista un número aleatorio de tres cifras es exactamente igual que el caso de 3 cifras.
Si codificamos mi nombre Joaquin a código ASCII 074 111 097 113 117 105 110, y lo buscamos entre los decimales de Phi o de cualquier otro racional, os garantizo que tarde o temprano aparecerá, simplemente si tiene 21 dígitos la probabilidad de encontrarlo sería de P(074111097113117105110) = 1 / 10E21, es decir que tendremos que tener una cantidad de unos 10E22 dígitos para asegurarnos que existe y como son infinitos decimales, aparecerá.
El Quijote o cualquier otra obra literaria en cualquier idioma o mejor dicho, todas ellas, están escritas en cualquier número irracional, sus infinitos números dan para eso.
He aquí el millón primero de decimales y para el que quiera puede descargar los 10 millones primeros. (Aunque se parezca mucho al número áureo, no deja de ser una aproximación, estamos hablando de infinitos decimales y alguna vez aproximará, nunca será a ser el que es).
Pensemos en números muy grandes en base decimal, 150!, un Fibonacci(6000), un 22547, en números que se nos escapan a nuestro entendimiento.
¿Cuántos dígitos tienen algunos de estos números?
Los números que tratamos están en base decimal, es decir que utilizan el sistema numérico decimal que expliqué en arithmos, esto quiere decir que cada uno de sus dígitos los cuales forman la cifra, están multiplicados por una potencia de 10 y esta potencia es el número de posición que ocupa en la cifra, ejemplo.
1729=1·10³+7·10²+2·10¹+9·10°
Bien, recordemos los logaritmos. Cuando obtenemos el logaritmo de un número a en base b, dando como resultado n, lo que estamos haciendo es que estamos obteniendo el número n al que hay que elevar la base b para obtener el número a.
Pues si obtenemos el logaritmo en base decimal de una cifra, lo que obtendremos será el número al que habría que elevar 10 para obtener la cifra, pero como comenzamos con las unidades como 10°, es decir 0, el número de dígitos será el redondeo del logaritmo en base 10 del número más una unidad.
El número 1729 que tiene 4 dígitos porque los hemos contado, calculado mediante nuestro método
Esta fórmula aplicada a número gigantescos, nos muestra el número de dígitos que contiene.
Esta es la gráfica del número de dígitos de los 310000 primeros elementos de la sucesión de Fibonacci que responde a la perfección con lo esperado de nuestra fórmula. El último dígito Fib(310000) tiene 64786 dígitos y es pequeño, ahora si puedes, calculas el logaritmo. 😉
El código para obtener elementos de Fibonacci los puedes descargar desde wakicode
Every time it moves, this robot either hops exactly one dot to the left or one dot to the right.
If the robot starts in the center of this pattern, what is the probability that, after four hops, it’s positioned on top of a blue dot?
Cada vez que se mueve, este robot salta exactamente un punto a la izquierda o un punto a la derecha.
Si el robot comienza en el centro de este patrón, ¿cuál es la probabilidad de que, después de cuatro saltos, se posicione encima de un punto azul?
Para calcular la probabilidad de terminar en los puntos azules, vamos a ejecutar el método Montecarlo mediante la probabilidad sobre el total de resultados. Kotlin es el lenguaje elegido.
fun robotPosition():String {
var results = mutableListOf()
val n = 10000
(0..n).forEach { _ ->
var finalPosition = 0
(0..3).forEach { _ -> finalPosition += if (Random.nextBoolean()) -1 else 1 }
results.add(abs(finalPosition))
}
return "Probability: ${results.count { k-> k == 2 } / n.toDouble() }"
}
en la función obtenemos una muestra de 10000, simulamos 4 movimientos aleatorios y guardamos la posición. Yo le he dado el valor de 0 a la posición de partida, valores negativos por la izquierda y valores positivos por la derecha, pero a la hora de guardar como ambas partes son simétricas, guardo el valor absoluto para simplificar. Una vez ejecutado obtenemos que la probabilidad aproximada de que el robot caiga en la bola azul es de 1/2 o 0.5.
El número de iteraciones que he usado ha sido 10000, suficiente aunque lo suyo hubiera sido estudiar el promedio y la varianza para determinar que el valor es acertado.
El siguiente consigue el mismo efecto, pero esta vez acumulo las probabilidades obtenidas en un lista para así al final obtener el promedio. Ejecutamos 100 veces el movimiento del robot y obtenemos la probabilidad la cual guardamos en una lista. ejecutamos esto otras 100 veces para obtener 100 probabilidades distintas, obtenemos la media y resultado igual.
fun probabilityAverage(): String{
// montecarlo method
var probTotal = mutableListOf()
val n = 100
(0..n).forEach { _ ->
var successful = 0.0
(0..n).forEach { _ ->
var position = 0
(0..3).forEach { _ -> position += if (Random.nextBoolean()) -1 else 1 }
successful += if (abs(position)==2) 1 else 0
}
probTotal.add(successful / n.toDouble())
}
return "Probability: ${probTotal.average()}"
}
Que bellas son las matemáticas. Que bella la lógica. Que bello el pensamiento.
Durante estos anómalos días metido en casa, además de programar, leer y todo lo que se me ha antojado, me doy un paseo por Twitter.
Twitter es la red social que supuestamente por el hecho de tener una cuenta, implica que tengas un IC de 120. La verdad es que dándose una vuelta, lo más que observas que la mayoría suelen ser unos portentos en el insulto, escondidos bajo un perfil, escondidos entre las millones de cuentas, escondidos en casa mostrando su falso perfil, intentando parecer inteligentes con frases copiadas o colgando unas preciosas fotos que ni la misma Sara Montiel se hubiera imaginado
Pero… luego encuentras gente que no se si serán inteligentes, pero al menos bajos sus hecho o mejor dicho, bajo sus twits son dignos de ello; gente que divulga ciencia, cultura, saber, conocimiento, verdad y si tienen una ideología, porque la tendrán, no la mezclan con algo tan nimio, mezquino y falso como pueda ser la política actual. La ciencia y el saber no ocupan lugar.
Pues como iba diciendo, he encontrado gente que vale la pena leer. Hoy mismo un profesor @EugenioManuel se emocionaba porque el BOE mostraba las unidades legales de medida del Sistema Internacional por el Ministerio de Industria (la verdad sea dicha, tampoco me esperaba encontrar al metro expresado en función de la frecuencia del Cesio 133) o @Gaussianos incansáblamente publicando uno de sus múltiples artículos, @le_becachel, @el_de_gafas, @tocamates, @devexperto1, @edsouthall, @brilliantorg , @edusadeci, @jasantaolalla y tantos más… personas que disfrutan con saber y con divulgar, hacer que sepan los demás o intentar que sepan más, infinidad de personas que tras su perfil si muestran lo que son y que piensan de la ciencia. Pero … uno de mis últimos descubrimientos ha sido @Cshearer41 que además divulgar me hace perder (o ganar) cada día un rato en resolver sus puzles matemáticos y he aquí os dejo alguno de ellos para que los podáis resolver y el que quiera comentarlos que lo haga.
Lo que más gusta de estos puzzles es que puedes complicarte la vida maravillosamente o solucionarlos de la manera más simple habida y que cuando piensas que es no puede haber otra con mayor simpleza, aparece alguien y te pone en tu sitio, si que puede haber otra solución más simple, porque ahí estriba la belleza del conocimiento, la belleza de las matemáticas, en no saber nada. En programación pasa algo parecido, creas una función, una arquitectura, un lo que sea y no hay dia que pase en la que puedas encontrar una solución simplificada más eficiente. Como en la vida, infinitos caminos, un destino.
Pues el primero fue de un twitt de @le_becachel y el resto son la mayoría de Catriona Shearer
y 1.- El perímetro del rectángulo vale 6, ¿cuánto vale la línea roja?
2.- Dos cuadrados. ¿Cual es la fracción de la zona sombreada?
3.- ¿Área del cuadrado grande?
4.- 4 cuadrados ¿Cuánto vale el área sombreada?
5.- Área del cuadrado verde
6.- ¿Área del cuadrado?
7.- ¿Cuánto vale el área sombreada?
8.- La mitad de la superficie de estos dos cuadrados superpuestos, es de color amarillo, ¿qué fracción es naranja?
Primero me pregunto, ¿Que es un tetraedro? Es un poliedro de cuatro caras triangulares, si los triángulos son equiláteros, hablamos de un tetraedro regular, si sus triángulos son isosceles, tetraedro isósceles o también si tiene dos tres caras iguales, isofacial, trirectángulo si tres de las caras tienen un triángulo rectángulo, etc.
Segundo, ¿podemos construir un tetraedro desde un área cuadrada? Pasemos a la acción.
Si realizamos el desarrollo de un tetraedro regular podemos verlo como lo hemos toda la vida o de la siguiente forma
En la figura de la derecha, tenemos un paralelogramo cuya área es base x altura o lo que es lo mismo un rectángulo donde AB = a y la altura y por tanto su área es .
Si pretendemos que el área sea un cuadrado, raiz de 3 tiene que tender a raiz de 4 para que la altura sea igual a la base. Siendo así, construimos la misma figura con nuestras dimensiones a x a.
En este caso, formamos triángulos isósceles.
Ahora si convertimos cada uno de los lados de los triángulos en aristas del tetraedro, deberíamos doblarlos hacia el interior hasta que los medios triángulos que se han formado en los extremos, lleguen a unirse por el lado externo o lado del cuadrado debiendo formar algo como este tetradro.
¿Cual es el valor sus aristas? Cada una de las aristas (las 6), estarían formadas por los segmentos DF, FH, HG, GC, DH o HC y FG.
El área de este tetraedro es el área del cuadrado y por tanto el área de cada cara es una cuarta parte del área del cuadrado.
Por curiosidad,
su arista vale
y su volumen sabemos que este es igual a
y para obtener la altura del tetraedro formado, nos fijaremos en las rectas en rojo de la figura donde podemos apreciar la formación de un triángulo rectángulo donde en el eje vertical está contenida la altura que no conocemos y la hipotenusa y altura de una cara es el lado del cuadrado. Para simplificar el cálculo, diremos que x=b/2 y calculando con aquellos problemas de la altura h, m y n que hacíamos de pequeños.
Aún en la simpleza de estos cálculos, que bellas son las matemáticas. Saludos
Cada vez que hay elecciones, nos preguntamos ¿como se constituyen las Cortes? ¿Cómo se asignan los diputados?
En España se asignan los diputados por circunscripciones que corresponden a las 50 provincias y las 2 ciudades autónomas, en total 52 circunscripciones. Cada una de ellas, tiene como mínimo 2 diputados excepto Ceuta y Melilla que tienen solo un diputado. El resto de diputados de una circunscripción se asignan en función de la población de esta, así si el Congreso de los Diputados tiene 350, 2 son para las ciudades autónomas de Ceuta y Melilla y los 348 son repartidos proporcionalmente por las 50 provincias. Para las elecciones de 2019, un ejemplo de distribución de diputados por circunscripciones en proporción de la edad es Madrid 37, Barcelona 32, Jaén 5, Córdoba 6, Zaragoza 7, Valencia 15, etc.
Una vez que conocemos el número de diputados por circunscripción y dependiendo del número de votos que han recibido cada partido, se asignan los diputados por partido a la circunscripción y aquí es donde usamos el sistema conocido como Ley D’Hont en honor a su creador Victor D’Hont, jurista belga que lo creó en 1878.
El método D’Hont realiza continuas divisiones sobre el número de votos dependiendo del número de diputados asignados. Ejemplo, la circunscripción de Córdoba tiene 6 diputados y ha obtenido los siguientes resultados en las elecciones del 10N de 2019:
PSOE. 146.166 votos
PP. 99.766 votos
VOX. 82.162 votos
UP. 64.111 votos
Cada uno de los resultados obtenidos por cada partido se divide sucesivamente por 1, 2, 3, 4 hasta el número de diputados, en este caso hasta 6. Una vez realizados los cálculos, se seleccionan de la tabla los 6 valores de mayor valor, determinando cada uno de ellos el número de diputados por partido.
¿Cuando puede haber algún contencioso en la asignación de algún diputado? Pues cuando los valores de diferentes divisiones independientemente del partido se encuentran muy cerca. En la tabla podemos apreciar el segundo diputado del partido PP con resultado de la división entre 2, 49.883 y la celda del partido PSOE con resultado de la división por 3, 48.722. Entre ambos existen una diferencia de 1161 votos, pero este último partido necesitaría el triple de la diferencia de votos para obtener su tercer diputado. No es fácil superar en cada nueva división, pero es posible en el recuento del voto procedente del extranjero, pero siempre cuando el número de votos está muy cercano.
y por tanto su área es 
.
arithmos 