arithmos

by Joaquín Martínez Rus

Número áureo

Número áureo

 

Hace unos días vi un tuit de Eduardo Saenz de Cabezón en el que relataba en una de sus genialidades nuestra existencia ese día sin saber el contenido del tuit. ¿Y que decía el tuit? “Si el triángulo es equilátero y A y B son los puntos medios de sus lados entonces AB/BC es la razón áurea, el número de oro, la divina proporción.”

phi01

trianguloPhi

visto esto es fácil demostrarlo y así lo haré en el post trigonométricamente mediante el teorema del seno y del coseno.

Sabemos que en un triángulo equilátero coincide el ortocentro corte de las tres alturas o perpendiculares desde un vértice al lado contrario, baricentro o intersección de las medianas que son las rectas que unen los vértices con los puntos medios del lado contrario, circuncentro o centro de la circunferencia circunscrita formado por las mediatrices o rectas perpendiculares al punto medio e incentro, centro de la circunferencia inscrita en él formado por la intersección de las bisectrices o rectas que dividen los ángulos en dos ángulos iguales.

Ahora recordemos el teorema del seno

1200px-Ley_de_los_senos.svg.png

y el teorema del coseno

teorema del coseno

Y ahora a calcular añadiendo a nuestro triángulo algún dato más. Trazaremos una recta entre el centro, de la circunferencia y el punto medio de un lado y otra recta que une el centro con el punto C que en realidad es el radio de la circunferencia. Para simplificar diremos que el lado del triángulo DF vale 2a y por tanto la mitad a, phi04

phi021.png

El radio es fácil determinarlo, puesto que si calculamos la hipotenusa del triángulo AOF ya que conocemos las características del triángulo equilatero,

phi05

ahora también conocemos un lado de nuestro triángulo incognita el lado OC es igual al radio. Del mismo modo que hemos calculado el radio, con el triángulo equilatero anterior, calculamos el lado OA

phi06.png

El ángulo α tiene 30º y β y γ no los conocemos, conocemos 2 lados y un ángulo; usemos el teorema del seno

phi07

Conociendo el seno, podemos conocer el coseno mediante la igualdad “la suma del cuadrado del coseno y el cuadrado del seno es la unidad”

phi08

Y toca el paso al teorema del coseno

phi11

phi10

resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos dos soluciones de AC

phi12

ya podemos ver que una de las soluciones, la positiva es un múltiplo del segmento AB=a por el número áureo, de modo que la relación entre el segmento AC y AB es el número aúreo, pero lo que nos interesa era otra proporción, así que seguiremos calculándola. Conocemos AC y AB y consecuentemente BC=AC-AB, así que para las dos soluciones de la ecuación

phi13.png

y volviendo a nuestra relación inicial, si la calculamos para las dos opciones obtenidas, la primera que tiene una solución negativa y por tanto no es válida

phi15

y la segunda de la que obtenemos nuestro preciado número áureo φ

phi16

Fantástico este número oculto en nuestra naturaleza relacionando distancias, planos y espacios.

Para terminar unos videos sobre algunas figuras geométricas que lo albergan y un GIF de Alfredo Gordillo

Video11.gif

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Dígitos de control II

Dígitos de control II

Continuando con el primer post, vamos a ver otros tipos de dígitos de control.

Número de la seguridad social

El número de la seguridad social consta de 2 dígitos para el código de provincia, 8 números secuenciales y dos dígitos de control. Para calcular el dígito de control, unimos los dos dígitos de la provincia y los 8 secuenciales en uno solo. Obtenemos el resto de dividir por 97. Ejemplo para un usuario de Madrid cuyo código es 28 (es el puesto 28 por orden alfabético de las provincias españolas), entonces su número ficticio es 28 12345678

2812345678 MOD 97=40⇒ el número es 28 12345678 40

ISBN (International Standar Book Number)

Este código usado por los libros, tiene 9 dígitos, país, editorial y libro y un último dígito como control. Para calcularlo, escogemos un libro que me encanta, Flatland o Planilandia con ISBN 84-7651-781-5 al que vamos a calcular el 5 final. Multiplicamos el primer dígito por 1, el segundo por 2, el tercero por 3 y así hasta el último multiplicado por 9 y sumamos todos los productos, en nuesto caso

8×1+4×2+7×3+6×4+5×5+1×6+7×7+8×8+1×9=214 y le calculamos el módulo de 11

Dígito control=214 MOD 11= 5, por tanto nuestro ISBN es 84-7651-781-5

El ISBN desde 2007, está formado en base al EAN 13 igual que los códigos de barras EAN 13, por tanto tiene otro cálculo.

(A continuación veremos una variedad de cálculo del dígito de control basada en el algoritmo de Luhn al que dedicaremos algún día un artículo para él solito)

Código de barras EAN 13

Como su nombre indica, esta formado por 13 dígitos en los que encontramos 12 dígitos de datos del pais, artículo, etc y 1 del dígito de control y para calcularlo, sumamos las cifras impares, añadimos la multiplicación por 3 de la suma de las pares y esta suma tiene que ser siempre múltiplo de 10, de modo que el dígito de control debe ser un número que sumado a este resultado sea múltiplo de 10. Ejemplo para el ISBN 9788497167048

(Hay que decir, que todos los tipos de código de barras tienen su dígito de control.)

Tarjetas de crédito

Las tarjetas de crédito tienen también estructura. Cuatro primeros dígitos a la entidad, quinto al tipo de tarjeta (VISA, Master Card, etc.), los diez siguientes corresponden a la tarjeta y el último… dígito de control. Este usa al igual que el IMEI el algoritmo de Luhn. Ejemplo tarjeta número 1234 5678 1234 567X

Multiplicamos por 2 desde la izquierda a la derecha los números impares, si el número es menor que 10, lo dejamos tal cual, si es mayor calculamos el módulo de 9 (resto de dividir por 9). Todos estos resultados los sumamos y le llamamos I.

1x2+3x2+5x2+7x2+1x2+3x2+5x2+7x2=2+6+10+14+2+6+10+14 ⇒ eliminando mayores de 10 ⇒I=2+6+1+5+2+6+1+5=28

P=2+4+6+8+2+4+6+8=40

I+P=28+40=68, calculamos el módulo de 10, R=68 MOD 10=8

DC=10-((I+P)MOD10)⇒DC=10-(68MOD10)=10-8=2

El número final de la tarjeta es por tanto 1234 5678 1234 5672

IMEI (International Mobile Equipment Identity) 

También tienen dígito de control y tiene cuatro partes, el Type Allocation Code (TAC), en donde los primeros dos dígitos indican el RBI, la organización que regula el teléfono vendido, la segunda parte es el Final Assembly Code (FAC) e indica el fabricante del equipo, la tercera parte es el número de serie del teléfono. Por último el dígito de control, usado para verificar que el IMEI es correcto. Este usa el algoritmo de Luhn al igual que las tarjetas de crédito.

Como podéis apreciar, estamos rodeados de dígitos de control, porque como decía super ratón, aún hay más.

Dígitos de control I

Dígitos de control I

Estamos rodeados de números, identificados con números, trabajamos con números y códigos, cuentas bancarias, tarjetas, DNI, seguridad social, números de teléfono, identificadores, códigos de barra, etc., aunque muchas veces no tenemos que tratar con ellos, simplemente se tratan de códigos; de hecho cuando compramos por internet, introducimos el número de tarjeta, pero cuando pagamos en un restaurante, pasamos la tarjeta y datafono se encargará de leer ese código para cobrarnos o cuando una cajera pasa un artículo por el lector y este lee el código de barras del artículo, busca en la base de datos y carga el precio en nuestra cuenta y como este mil acciones diarias, ¿pero que hemos hecho para evitar que cuando trabajamos con esos números no se cometan errores?

Pues para que no ocurran estos errores, ya se pensó a nivel binario cuando se empezaron a transmitir datos de un lado a otro yt para esto se creó el bit de paridad, de modo que en un número binario de 8 bit,s (11011110 que equivale al número 222 en decimal) al transmitirlo le incluiríamos un 1 o un 0 dependiendo si el número de unos es par o no, en este caso el número 11011110 tiene 6 unos (1) y por tanto añadiríamos un 1 al final quedando 110111101; si por casualidad se cometiera un error y se enviara 110101101 el número de unos que existen en los ocho primeros dígitos es impar, de modo que es imposible que al final haya un uno. Con esto, indicamos que existe un error y obligamos a solicitar de nuevo el byte erróneo. Contar unos, está bien, ¿pero que ocurre cuando los números se hace más grandes?, pues que debemos contar con otras herramientas matemáticas que nos permitan evitar estos errores. Visto esto, vamos a ver en que ámbitos de nuestro vida diaria existe este control.

Una de las herramientas se la debemos a Carl Friedrich Gauss y a su aritmética modular, los números congruentes. Veamos.

Un número a es congruente a b módulo de c si ambos números al dividirlos por c, obtenemos el mismo resto y lo vemos con un ejemplo.

33 es congruente con 21 módulo de 12, que se escribe 33≡21(mod12) si al dividir 33 entre 12 nos da de resto 9 y lo mismo ocurre al dividir 33 entre 12 que da de resto 9. Este tipo de aritmética es utilizada para calcular cálculos con números muy grandes, pero también la usamos para esto, para añadir dígitos de control a nuestros números cotidianos. También podemos decir que 33 MOD 12 =9 y 21 MOD12=9.

33=12×2+9 y 21=12×1+9

NIF

El NIF tiene 8 dígitos numéricos y una letra al final, pues esta letra, no es otra cosa que un dígito de control del DNI que evita que cometamos errores o acceder a una base de datos de 44 millones de registros de una forma rápida realizando 23 grupos de registros entre otras cosas. Primera pista, 23 grupos.

Si dividimos nuestro DNI (solo números claro) entre 23, obtenemos un resto lógicamente menor que 23, este resto corresponde a una sola letra del abecedario y  esa letra es la que le corresponde al NIF. Cada número desde el 0 hasta el 22 que pueden corresponder como restos, equivalen a las siguientes letras:

0⇒T, 1⇒R, 2⇒W, 3⇒A, 4⇒G, 5⇒M, 6⇒Y, 7⇒F, 8⇒P, 9⇒D, 10⇒X, 11⇒B, 12⇒N, 13⇒J, 14⇒Z, 15⇒S, 16⇒Q, 17⇒V, 18⇒H, 18⇒L, 20⇒C, 21⇒K, 22⇒E

Ejemplo.

22111333 ÷23=961362 x 23 + 7, por tanto el resto es 7 y nuestro DNI le corresponde la letra F siendo el NIF 22111333F.

Cuenta bancaria

Una cuenta bancaria tiene la siguiente estructura (porque la tiene).

  • 4 primeros dígitos indican el código de la entidad y dentro de estos cuatro, el primero o los dos segundos indican el tipo de entidad, 0 o 1 es un banco, 2 es una caja de ahorros y alguno más.
  • Los siguientes 4 dígitos indican el código de la sucursal u oficina.
  • Los dos siguiente son el dígito de control que vamos a calcular
  • Los 10 últimos dígitos identifican la cuenta bancaria

Bien, pues los dígitos de control nos van a permitir que si existiera un error en la emisión o recepción, hablada, escrita, telemática, etc. del número de cuenta, nos indique si esta es correcta. Con un ejemplo lo vemos con una cuenta ficticia 1234 5678 XY 9876543219

  1. Cogemos las 4 cifras de la entidad. Multiplicamos la primera por 4, la segunda por 8, la tercera por 5 y la cuarta por 10 y sumamos todos los productos. 1x4+2x8+3x5+4x10=75
  2. Cogemos las 4 cifras de la sucursal. Multiplicamos la primera por 9, la segunda por 7, la tercera por 3 y la cuarta por 6 y sumamos todos los productos. 5x9+6x7+7x3+8x6=156.
  3. Sumamos estas dos cantidades y obtenemos el resto de 11. 75 + 156=231. 231=21×11+0. El resto es 0.
  4. Por último multiplicamos por 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3 y 6 cada una de las cifras del número de cuenta respectivamente y las sumamos. 9x1+8x2+7x4+6x8+5x5+4x10+3x9+2x7+3x1+9x6=264
  5. Obtenemos el resto de dividir por 11. 264=24×11+0
  6. El resultado final de la cuenta bancaria sería 1234 5678 00 9876543219 donde el primero y el segundo resto son el dígito de control.

Los números por los que se multiplican las cifras, no están escogidos aleatoriamente, sino que son los restos de dividir entre 11 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 210.

IBAN

El IBAN es un código basado en la cuenta bancaria, pero con el fin de unificar a nivel internacional las transacciones entre bancos de la Unión Europea. Para generar el IBAN se añaden 4 dígitos a la cuenta bancaria estándar de los que corresponden los dos primeros al país y los dos segundos como dígitos de control. ¿Cómo se genera?

Si somos de España, nos corresponde inicialmente ES y escribimos ES00 al final de los 20 dígitos de la cuenta bancaria; sustituimos la E por 14 y la S por 28 y nos quedaría del siguiente modo:

 1234 5678 00 9876543219 ES00⇒ 12345678009876543219142800

al número resultante, le calculamos el módulo o resto de dividir por 97

12345678009876543219142800 MOD 97 = 90

ahora restamos a 98 el resultado, 98-90=08 y este es el dígito de control quedando el IBAN como

ES08 1234 5678 00 9876543219

en el caso que el resultado sea de una sola cifra, añadimos un 0 a su izquierda.

Pues aún hay más como el número de la seguridad social, los códigos de barras, el ISBN o las tarjetas de crédito los cuales veremos en el próximo post de Arithmos.

Hurricane

Hurricane

Como el título de la canción de Bob Dylan, Hurricane, pero esta vez no sobre el boxeador Rubin Carter, sino sobre el fenómeno climatológico devastador voy a intentar mostrarles algunas curiosidades de estas manifestaciones de la naturaleza como son los huracanes.

Los huracanes caribeños, se forman un poco más lejos del Caribe, concretamente se forman en las costas africanas, por Cabo verde o las costas de Senegal. ¿Como se forman? Se forman como casi todo lo que se mueve en la Tierra, por cambios de temperatura, en este los vientos calientes del Sahara se elevan en el mar, entra aire de zonas más frondosas y frías el cual se calienta elvándose y formando el motor del huracán; al mismo tiempo el agua evaporada en forma de nube se une y a medida que la tormenta adquiere velocidad, esta se torna en forma de espiral con la curiosidad que en el ojo de la tormenta, la presión es muy baja, la tranquilidad impera y la claridad es máxima; estas tormentas en el hemisferio Norte giran en sentido contrario a las agujas del reloj y en el hemisferio Sur lo hacen al contrario.

huracan3

Estas tormentas, según van adquiriendo tamaño y velocidad, se categorizan según la velocidad de los vientos giratorios, si estos superan los 60 km/h, se denomina tormenta tropical y cuando superan los 120 km/h huracán o también ciclón tropical. Para determinar la categoría, se usa una escala llamada Saffir-Simpson en función de los valores del viento rotatorio, las mareas y la presión del ojo de la tormenta. Una vez que toman tierra, se degradan, pierden velocidad y desaparecen ( por suerte).

Existe un departamento meteorológico en la NASA que se encarga de hacer un seguimiento climatológico a la Tierra en todo momento y este departamento concretamente, es el encargado de asignar un nombre cuando se detecta por primera vez el ojo de la tormenta. Cada año se designan los nombres de los huracanes por cada zona que sufre este tipo de fenómenos por orden alfabético y asignando un nombre femenino y masculino alternativamente. La procedencia de los nombres de los huracanes se hacía ya en el siglo XIX para recordar el día de su paso y destrucción pero más tarde ya en el siglo XX se identificaban con nombres de mujer, en 1978 se incluyeron ya nombres de hombres y un año más tarde se decidió su alternancia. Otra curiosidad, cuando un huracán es altamente destructivo, puede ser eliminado de las listas a petición del país afectado para evitar su recuerdo, el cual no entrará de nuevo en estas listas pasados al menos 10 años. Concretamente los nombres de los huracanes tropicales del Atlántico del 2017, son Arlene, Bret, Cindy, Don, Emily, Franklin, Gert, Harvey, Irma, José, Katia, Lee, María, Nate, Ophelia, Philippe, Rina, Sean, Tammy, Vince y Whitney.

Huracan2

La etimología de la palabra huracan es de procedencia taína (los taínos fueron un pueblo indigena de las Antillas), que quiere decir centro del viento, Hura viento y Can centro aunque en la mitología maya Hunracán fue el Dios del fuego, los vientos y las tormentas y los quechuas que también tenían a este como Dios de los truenos y las tormentas.

¿Como se forma el granizo?

¿Como se forma el granizo?

El granizo es hielo, pero ¿cómo se forma el hielo en las nubes? Este fenómeno se produce normalmente en verano a pesar de las altas temperaturas y ahora explicaré el porqué.

Estas altas temperaturas en verano producen un fenómeno propenso a la formación de nubes de desarrollo vertical; este tipo de nubes son cumulonimbos y en su interior tienen corrientes de aire caliente que asciende hasta su enfriamiento en la parte más alta de la nube, bajando y subiendo de nuevo.

CUMULONIMBUS

Cuanto más alta sea la nube, la temperatura es menor y cuando el agua de la nube alcanza estas cotas, se congela formándose hielo y aumentando capa a capa hasta que su peso le hace caer por gravedad descomponiéndose en su caída, es decir el granizo es de un tamaño mayor en su formación y cuando llega al suelo, se ha descompuesto dependiendo de la temperatura.

granizo

Mapa de la Luna

Mapa de la Luna

¿Conoces el mapa de la Luna? Cada uno de los cráteres o elementos orográficos de la Luna tiene un nombre y aquí te muestro solo unos pocos:

MapaLuna01MapaLuna02

Y si quieres ver con más detalle alguno de ellos, puedes hacerlo en el siguiente enlace (despliega las capas) donde tienes cualquier información que se te ocurra obre la Luna, con datos proporcionados por LROC (Lunar Reconnaissance Orbiter Camera) del satélite LRO de EE. UU que desde el 2009 orbita en la Luna descargando unos 55 Tb de datos por año. Además Google Earth dispone de un buen mapa lunar donde se pueden observar además de los nombres de la orografía selénica, las expediciones, viajes y restos lunares.

MapaLuna03.jpg.png

Detalle de las inmediaciones de Copernicus y Eratóstenes

MapaLuna04.png

Detalle del Apollo 17 desde Google Earth

Casiopea y Cefeo

Casiopea y Cefeo

Casiopea era esposa de Cefeo rey de Etiopía y padres de Andrómeda. Cuenta la mitología que en un encuentro no amistoso entre las Nereidas y Casiopea rivalizando por su especial belleza, las Nereidas pidieron al Dios del Mar Poseidon que enviara a sus costas a Cetus un monstruo marino.

El rey, consultó al oráculo y este le pidió que sacrificara a su hija entregándosela a Cetus y la amarró a un palo en la costa.

El gran guerrero Perseo, a su vuelta de uno de sus viajes, divisó a la joven Andrómeda de la que se enamoró. Pidió su mano a Cefeo a cambio de matar a Cetus,; ambos casos se cumplieron.

Casiopea es una constelación fácil de identificar por formar una W; tiene un ángulo obtuso y otro agudo. Desde su ángulo más agudo, podemos encontrar a Cefeo y a la osa menor, como consecuencia la estrella Polar y el Norte, en la cara trasera del ángulo obtuso está perseo y en la cara trasera del agudo, dos cuadrantes más abajo se encuentra Andrómeda. La mitología en el cosmos y un modo para que no se nos olvide la posición de estas constelaciones.

En la fotografía, tenemos una vista desde la sierra cordobesa del día 23 de Junio con las trazas de las constelaciones Casiopea, Cefeo, Lacerta y las estrellas Polar de la Osa Menor y Daneb de la constelación Cisne.

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Fotografía original