arithmos

by Joaquín Martínez Rus

Galileo y la gravedad

Galileo y la gravedad
Hace unos días durante una cena con unos familiares, me comentaban:”Me aposté con mi cuñado que si tirábamos un tercio de cerveza desde un sexto piso, uno lleno y otro vacío, los dos llegan al mismo tiempo al suelo, ¿verdad Joaquín?”. (Que conversaciones y que apuestas!! y espero que no se haya llevado a cabo)

¿Es verdad esto que comentan? Pues esto Galileo Galilei hace más de 400 años que ya lo pensó y además entre otras cosas lo tacharon de loco. Dicen que lo intentó desde la torre de Pisa, pero lo que si les aseguro que lo hizo sobre planos inclinados llegando a la misma conclusión. ¿Y cual fue esa conclusión? Pues que ambos objetos independientemente de la masa que tenga son atraidos por la Tierra con la misma aceleración, es decir, tendrán la misma velocidad al final de su trayectoria y por tanto llegarán al mismo tiempo al suelo, pero… en el vacío. ¿Y con aire?

¿Quien tiene la culpa de que lleguen al mismo tiempo si en vez de dos botellas de cerveza, hablamos de un paracaidas de 30 kilos y una bola de acero de 500 gramos llegando esta última antes al suelo? Pues el rozamiento o fricción. ¿Y que es el rozamiento? grosso modo, la capacidad de abrirse paso un objeto que sufre una fuerza que lo acelera ante otro objeto que lo frena. ¿Y que lo frena? Todo objeto tiene un estado, sólido, líquido y gaseoso y esto además de indicar que a una temperatura concreta cada uno de los elementos de la tabla periódica tiene un estado concreto, indica que las moléculas de un objeto sólido están más unidas que las de un objeto líquido y este algo más unidas que las de un objeto gaseoso y todo esto unido a su densidad (más masa por unidad de volumen), más resistencia opondrán al paso de un objeto a través de ellos, por eso el rozamiento no es ni más ni menos que la fuerza que impide que otro objeto se abra paso entre la unión de moléculas, pero sin romper sus uniones, o rompiéndolas porque si la velocidad aumenta, aumenta la fricción, aumenta el calor y…

Si el objeto que lo frena es un gas o gases, como es el aire que respiramos, un objeto más aerodinámico se abre paso con más facilidad que otro que los sea menos, como pueda ser una bala de 100 gramos en contra de un paracaidas de 30kg, o lo que es lo mismo la fuerza que ejerce el aire ante el objeto que pretende atravesarlo, hace que lo frene y de ahí no es ni más ni menos que un sistema de fuerzas ,pero a pesar de ser aerodinámico, veámoslo con más detenimiento. Supongamos que tenemos un proyectil sujeto con dos dedos a 2000 metros, en su posición inicial tiene velocidad cero y energía potencial máxima y al dejarlo caer, este va acelerando aumentando su velocidad practicamente con un movimiento uniformemente acelerado aumentando también la fricción con el aire haciendo que la aceleración disminuya y cuando la fricción iguala el peso, el objeto cae con una velocidad constante o velocidad límite, de ahí podemos determinar la velocidad con la que caerá un paracaidas con un paracaidista colgado de él.

fig266.gif

Por otra parte, si el objeto resistente es líquido, este ofrecerá más resistencia a ser atravesado por otro en caida libre y como no, si el objeto choca con un sólido, este no podrá atravesar la unión entre moléculas a no ser que las rompa, por tanto gracias al impedir que friccionemos o que no podamos abrirnos paso en un sólido, no es posible que caigamos hacia el centro de la Tierra sin parar. (Gracias sólidos!)

Esta última fricción sería el caso extremo, es decir no existe o visto desde otro punto de vista es máxima, puesto que la fuerza que imprime el sólido es suficiente para no permitir dejar pasar el objeto o 3ª ley de Newton o principio de acción y reacción, un cuerpo A ejerce una acción sobre otro cuerpo B, éste realiza sobre A otra acción igual y de sentido contrario, de modo que como la fuerza es la misma, no lo dejaría pasar.

En el caso de las botellas de cerveza, que son dos objetos iguales en cuanto a aerodinámica y peso, no es posible apreciar tiempos distintos desde un sexto piso, pero si este experimiento se realiza en una camara de vacío, comprobaríamos que esto es real o lo que es lo mismo, los dos objetos independientemente de su masa, serían atraidos con las misma aceleración, 9.81 m/s2.

Os dejo un video de la NASA en una cámara de vacío gigante que muestra el experimento(el de la primera imagen).

Si Galileo hubiera visto esto, Cuántas bocas hubiera callado!

Nota: No se ni quiero saber si llevaron a cabo el experimento de los dos tercios de cerveza desde el sexto piso! ;). La fricción en caida libre es un poco más compleja, pero para no mostrar ninguna fórmula, creo que va bien.

 

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Buster Keaton y El héroe del rio

Buster Keaton y El héroe del rio

El otro día vi en un programa de televisión la escena en la que a Buster Keaton le cae la fachada de una casa quedando este en el punto exacto donde la ventana de la casa toca el suelo salvando su vida que por cierto luego reprodujeron en el programa; esta escena fue real sin efectos especiales ni especialistas, Buster Keaton y una fachada cayendo y he aquí mi pregunta ¿Que altura máxima debería tener una persona para salvarse?orig.gif

Pues la respuesta es … la mitad de la cuerda que pasa por la zona inferior de la ventana!!

Visto y leido así como no es muy gratificante ni entendible, por lo que vamos a verlo gráficamente. Si la casa no se parara en el suelo y su centro que es la base de la casa, formaría una corona circular como la de la figura donde la diferencia entre el radio mayor (R) y el menor (r) es la altura de la ventana. Como la fachada se para sí o sí en el suelo, la ventana formaría un trapecio circular que es el que está sombreado en la figura.

Ahora bien, el segmento mayor perpendicular al suelo que puede albergarse en este trapecio circular es el que une la base de la circunferencia menor con la circunferencia mayor y este al mismo tiempo es la mitad de la cuerda formada. (Ahora si!)

bk1.png

Vamos al cálculo. Si nos fijamos el seno del ángulo alfa es igual al cociente del cateto opuesto y la hipotenusa o lo que es igual a la altura máxima de Buster Keaton y el radio R o la altura hasta la parte superior de la ventana.

bk6.png

También podemos ver que el coseno de alfa es el cociente de la altura hasta la ventana y la altura superior de la ventana.

bk4

Esto que hemos hecho con trigonometría básica, podemos deducirlo a partir de formulaciones conocidas como la de la cuerda c (línea roja).

bk2

El ángulo α lo desconocemos y los dos radios los conocemos, pues a calcular el ángulo

bk7

una vez que lo tenemos, es fácil obtener la altura máxima

bk8.png

Con esto podemos imaginar un escenario de una fachada con un ventana  de 0,6 m a 3 metros de altura y la pregunta ¿cuanto debe medir com máximo el actor para no matarlo? Lo primero el ángulobk10.png

y por tanto la altura máxima es…

bk11.png

Afinando, por supuesto el ancho de la ventana debe ser mayor que el ancho de buster Keaton y habría que tener en cuenta el fondo corporal como si de un rectángulo se tratase, no como una recta perpendicular, pero a los efectos de cálculo nos apañamos.

En la película Buster Keaton medía 1,65m, si nos vamos a la escena y medimos las alturas grosso modo, la altura superior de la ventana estaría aproximadamente a 3 Buster Keaton o 4.95m y la base de la ventana a 2,5 Buster Keaton o 4.125m

bk12.jpg

de ahí el ángulo es 33,5 grados y la altura máxima sería de 2.73m!

Buster Keaton y su equipo jugaron sobre seguro!

¿A que altura debería estar una ventana de 0,5m para dejar pasar un Buster Keaton de 1,65m?

 

Feliz día de PI

Feliz día de PI

 

Falcon 9 vs Falcon Heavy

Falcon 9 vs Falcon Heavy

El día 6 de febrero se produjo el primer lanzamiento del mayor cohete de la historia espacial, el Falcon Heavy.
Este es una versión mejorada del Falcon 9 en la que monta uno de ellos reforzado con dos propulsores adicionales de este mismo cohete.
Con esta bestial propulsión, es posible llevar al espacio mayor peso y aumentar la velocidad y ante esto, se me ocurrió crear un video con el lanzamiento del Falcon 9 del 17 de diciembre de 2017 con la CRS – 13 y del lanzamiento de este.

800px-Falcon_Heavy_cropped.jpg

Para ver la comparativa de telemetría, el video muestra con los dos lanzamientos sincronizados y una gráfica que he creado con WPF y C#, donde podemos ver la progresión de velocidad de ambos cohetes.  A disfrutar del lanzamiento y del baile sincronizado  del aterrizaje de las primeras etapas.

Para concluir, adjunto algunas imágenes del día capturadas en directo desde youtube del Tesla Roadster en su paseo espacial hacia Marte.

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Número áureo

Número áureo

 

Hace unos días vi un tuit de Eduardo Saenz de Cabezón en el que relataba en una de sus genialidades nuestra existencia ese día sin saber el contenido del tuit. ¿Y que decía el tuit? “Si el triángulo es equilátero y A y B son los puntos medios de sus lados entonces AB/BC es la razón áurea, el número de oro, la divina proporción.”

phi01

trianguloPhi

visto esto es fácil demostrarlo y así lo haré en el post trigonométricamente mediante el teorema del seno y del coseno.

Sabemos que en un triángulo equilátero coincide el ortocentro corte de las tres alturas o perpendiculares desde un vértice al lado contrario, baricentro o intersección de las medianas que son las rectas que unen los vértices con los puntos medios del lado contrario, circuncentro o centro de la circunferencia circunscrita formado por las mediatrices o rectas perpendiculares al punto medio e incentro, centro de la circunferencia inscrita en él formado por la intersección de las bisectrices o rectas que dividen los ángulos en dos ángulos iguales.

Ahora recordemos el teorema del seno

1200px-Ley_de_los_senos.svg.png

y el teorema del coseno

teorema del coseno

Y ahora a calcular añadiendo a nuestro triángulo algún dato más. Trazaremos una recta entre el centro, de la circunferencia y el punto medio de un lado y otra recta que une el centro con el punto C que en realidad es el radio de la circunferencia. Para simplificar diremos que el lado del triángulo DF vale 2a y por tanto la mitad a, phi04

phi021.png

El radio es fácil determinarlo, puesto que si calculamos la hipotenusa del triángulo AOF ya que conocemos las características del triángulo equilatero,

phi05

ahora también conocemos un lado de nuestro triángulo incognita el lado OC es igual al radio. Del mismo modo que hemos calculado el radio, con el triángulo equilatero anterior, calculamos el lado OA

phi06.png

El ángulo α tiene 30º y β y γ no los conocemos, conocemos 2 lados y un ángulo; usemos el teorema del seno

phi07

Conociendo el seno, podemos conocer el coseno mediante la igualdad “la suma del cuadrado del coseno y el cuadrado del seno es la unidad”

phi08

Y toca el paso al teorema del coseno

phi11

phi10

resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos dos soluciones de AC

phi12

ya podemos ver que una de las soluciones, la positiva es un múltiplo del segmento AB=a por el número áureo, de modo que la relación entre el segmento AC y AB es el número aúreo, pero lo que nos interesa era otra proporción, así que seguiremos calculándola. Conocemos AC y AB y consecuentemente BC=AC-AB, así que para las dos soluciones de la ecuación

phi13.png

y volviendo a nuestra relación inicial, si la calculamos para las dos opciones obtenidas, la primera que tiene una solución negativa y por tanto no es válida

phi15

y la segunda de la que obtenemos nuestro preciado número áureo φ

phi16

Fantástico este número oculto en nuestra naturaleza relacionando distancias, planos y espacios.

Para terminar unos videos sobre algunas figuras geométricas que lo albergan y un GIF de Alfredo Gordillo

Video11.gif

Dígitos de control II

Dígitos de control II

Continuando con el primer post, vamos a ver otros tipos de dígitos de control.

Número de la seguridad social

El número de la seguridad social consta de 2 dígitos para el código de provincia, 8 números secuenciales y dos dígitos de control. Para calcular el dígito de control, unimos los dos dígitos de la provincia y los 8 secuenciales en uno solo. Obtenemos el resto de dividir por 97. Ejemplo para un usuario de Madrid cuyo código es 28 (es el puesto 28 por orden alfabético de las provincias españolas), entonces su número ficticio es 28 12345678

2812345678 MOD 97=40⇒ el número es 28 12345678 40

ISBN (International Standar Book Number)

Este código usado por los libros, tiene 9 dígitos, país, editorial y libro y un último dígito como control. Para calcularlo, escogemos un libro que me encanta, Flatland o Planilandia con ISBN 84-7651-781-5 al que vamos a calcular el 5 final. Multiplicamos el primer dígito por 1, el segundo por 2, el tercero por 3 y así hasta el último multiplicado por 9 y sumamos todos los productos, en nuesto caso

8×1+4×2+7×3+6×4+5×5+1×6+7×7+8×8+1×9=214 y le calculamos el módulo de 11

Dígito control=214 MOD 11= 5, por tanto nuestro ISBN es 84-7651-781-5

El ISBN desde 2007, está formado en base al EAN 13 igual que los códigos de barras EAN 13, por tanto tiene otro cálculo.

(A continuación veremos una variedad de cálculo del dígito de control basada en el algoritmo de Luhn al que dedicaremos algún día un artículo para él solito)

Código de barras EAN 13

Como su nombre indica, esta formado por 13 dígitos en los que encontramos 12 dígitos de datos del pais, artículo, etc y 1 del dígito de control y para calcularlo, sumamos las cifras impares, añadimos la multiplicación por 3 de la suma de las pares y esta suma tiene que ser siempre múltiplo de 10, de modo que el dígito de control debe ser un número que sumado a este resultado sea múltiplo de 10. Ejemplo para el ISBN 9788497167048

(Hay que decir, que todos los tipos de código de barras tienen su dígito de control.)

Tarjetas de crédito

Las tarjetas de crédito tienen también estructura. Cuatro primeros dígitos a la entidad, quinto al tipo de tarjeta (VISA, Master Card, etc.), los diez siguientes corresponden a la tarjeta y el último… dígito de control. Este usa al igual que el IMEI el algoritmo de Luhn. Ejemplo tarjeta número 1234 5678 1234 567X

Multiplicamos por 2 desde la izquierda a la derecha los números impares, si el número es menor que 10, lo dejamos tal cual, si es mayor calculamos el módulo de 9 (resto de dividir por 9). Todos estos resultados los sumamos y le llamamos I.

1x2+3x2+5x2+7x2+1x2+3x2+5x2+7x2=2+6+10+14+2+6+10+14 ⇒ eliminando mayores de 10 ⇒I=2+6+1+5+2+6+1+5=28

P=2+4+6+8+2+4+6+8=40

I+P=28+40=68, calculamos el módulo de 10, R=68 MOD 10=8

DC=10-((I+P)MOD10)⇒DC=10-(68MOD10)=10-8=2

El número final de la tarjeta es por tanto 1234 5678 1234 5672

IMEI (International Mobile Equipment Identity) 

También tienen dígito de control y tiene cuatro partes, el Type Allocation Code (TAC), en donde los primeros dos dígitos indican el RBI, la organización que regula el teléfono vendido, la segunda parte es el Final Assembly Code (FAC) e indica el fabricante del equipo, la tercera parte es el número de serie del teléfono. Por último el dígito de control, usado para verificar que el IMEI es correcto. Este usa el algoritmo de Luhn al igual que las tarjetas de crédito.

Como podéis apreciar, estamos rodeados de dígitos de control, porque como decía super ratón, aún hay más.

Dígitos de control I

Dígitos de control I

Estamos rodeados de números, identificados con números, trabajamos con números y códigos, cuentas bancarias, tarjetas, DNI, seguridad social, números de teléfono, identificadores, códigos de barra, etc., aunque muchas veces no tenemos que tratar con ellos, simplemente se tratan de códigos; de hecho cuando compramos por internet, introducimos el número de tarjeta, pero cuando pagamos en un restaurante, pasamos la tarjeta y datafono se encargará de leer ese código para cobrarnos o cuando una cajera pasa un artículo por el lector y este lee el código de barras del artículo, busca en la base de datos y carga el precio en nuestra cuenta y como este mil acciones diarias, ¿pero que hemos hecho para evitar que cuando trabajamos con esos números no se cometan errores?

Pues para que no ocurran estos errores, ya se pensó a nivel binario cuando se empezaron a transmitir datos de un lado a otro yt para esto se creó el bit de paridad, de modo que en un número binario de 8 bit,s (11011110 que equivale al número 222 en decimal) al transmitirlo le incluiríamos un 1 o un 0 dependiendo si el número de unos es par o no, en este caso el número 11011110 tiene 6 unos (1) y por tanto añadiríamos un 1 al final quedando 110111101; si por casualidad se cometiera un error y se enviara 110101101 el número de unos que existen en los ocho primeros dígitos es impar, de modo que es imposible que al final haya un uno. Con esto, indicamos que existe un error y obligamos a solicitar de nuevo el byte erróneo. Contar unos, está bien, ¿pero que ocurre cuando los números se hace más grandes?, pues que debemos contar con otras herramientas matemáticas que nos permitan evitar estos errores. Visto esto, vamos a ver en que ámbitos de nuestro vida diaria existe este control.

Una de las herramientas se la debemos a Carl Friedrich Gauss y a su aritmética modular, los números congruentes. Veamos.

Un número a es congruente a b módulo de c si ambos números al dividirlos por c, obtenemos el mismo resto y lo vemos con un ejemplo.

33 es congruente con 21 módulo de 12, que se escribe 33≡21(mod12) si al dividir 33 entre 12 nos da de resto 9 y lo mismo ocurre al dividir 33 entre 12 que da de resto 9. Este tipo de aritmética es utilizada para calcular cálculos con números muy grandes, pero también la usamos para esto, para añadir dígitos de control a nuestros números cotidianos. También podemos decir que 33 MOD 12 =9 y 21 MOD12=9.

33=12×2+9 y 21=12×1+9

NIF

El NIF tiene 8 dígitos numéricos y una letra al final, pues esta letra, no es otra cosa que un dígito de control del DNI que evita que cometamos errores o acceder a una base de datos de 44 millones de registros de una forma rápida realizando 23 grupos de registros entre otras cosas. Primera pista, 23 grupos.

Si dividimos nuestro DNI (solo números claro) entre 23, obtenemos un resto lógicamente menor que 23, este resto corresponde a una sola letra del abecedario y  esa letra es la que le corresponde al NIF. Cada número desde el 0 hasta el 22 que pueden corresponder como restos, equivalen a las siguientes letras:

0⇒T, 1⇒R, 2⇒W, 3⇒A, 4⇒G, 5⇒M, 6⇒Y, 7⇒F, 8⇒P, 9⇒D, 10⇒X, 11⇒B, 12⇒N, 13⇒J, 14⇒Z, 15⇒S, 16⇒Q, 17⇒V, 18⇒H, 18⇒L, 20⇒C, 21⇒K, 22⇒E

Ejemplo.

22111333 ÷23=961362 x 23 + 7, por tanto el resto es 7 y nuestro DNI le corresponde la letra F siendo el NIF 22111333F.

Cuenta bancaria

Una cuenta bancaria tiene la siguiente estructura (porque la tiene).

  • 4 primeros dígitos indican el código de la entidad y dentro de estos cuatro, el primero o los dos segundos indican el tipo de entidad, 0 o 1 es un banco, 2 es una caja de ahorros y alguno más.
  • Los siguientes 4 dígitos indican el código de la sucursal u oficina.
  • Los dos siguiente son el dígito de control que vamos a calcular
  • Los 10 últimos dígitos identifican la cuenta bancaria

Bien, pues los dígitos de control nos van a permitir que si existiera un error en la emisión o recepción, hablada, escrita, telemática, etc. del número de cuenta, nos indique si esta es correcta. Con un ejemplo lo vemos con una cuenta ficticia 1234 5678 XY 9876543219

  1. Cogemos las 4 cifras de la entidad. Multiplicamos la primera por 4, la segunda por 8, la tercera por 5 y la cuarta por 10 y sumamos todos los productos. 1x4+2x8+3x5+4x10=75
  2. Cogemos las 4 cifras de la sucursal. Multiplicamos la primera por 9, la segunda por 7, la tercera por 3 y la cuarta por 6 y sumamos todos los productos. 5x9+6x7+7x3+8x6=156.
  3. Sumamos estas dos cantidades y obtenemos el resto de 11. 75 + 156=231. 231=21×11+0. El resto es 0.
  4. Por último multiplicamos por 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3 y 6 cada una de las cifras del número de cuenta respectivamente y las sumamos. 9x1+8x2+7x4+6x8+5x5+4x10+3x9+2x7+3x1+9x6=264
  5. Obtenemos el resto de dividir por 11. 264=24×11+0
  6. El resultado final de la cuenta bancaria sería 1234 5678 00 9876543219 donde el primero y el segundo resto son el dígito de control.

Los números por los que se multiplican las cifras, no están escogidos aleatoriamente, sino que son los restos de dividir entre 11 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29 y 210.

IBAN

El IBAN es un código basado en la cuenta bancaria, pero con el fin de unificar a nivel internacional las transacciones entre bancos de la Unión Europea. Para generar el IBAN se añaden 4 dígitos a la cuenta bancaria estándar de los que corresponden los dos primeros al país y los dos segundos como dígitos de control. ¿Cómo se genera?

Si somos de España, nos corresponde inicialmente ES y escribimos ES00 al final de los 20 dígitos de la cuenta bancaria; sustituimos la E por 14 y la S por 28 y nos quedaría del siguiente modo:

 1234 5678 00 9876543219 ES00⇒ 12345678009876543219142800

al número resultante, le calculamos el módulo o resto de dividir por 97

12345678009876543219142800 MOD 97 = 90

ahora restamos a 98 el resultado, 98-90=08 y este es el dígito de control quedando el IBAN como

ES08 1234 5678 00 9876543219

en el caso que el resultado sea de una sola cifra, añadimos un 0 a su izquierda.

Pues aún hay más como el número de la seguridad social, los códigos de barras, el ISBN o las tarjetas de crédito los cuales veremos en el próximo post de Arithmos.