Primero me pregunto, ¿Que es un tetraedro? Es un poliedro de cuatro caras triangulares, si los triángulos son equiláteros, hablamos de un tetraedro regular, si sus triángulos son isosceles, tetraedro isósceles o también si tiene dos tres caras iguales, isofacial, trirectángulo si tres de las caras tienen un triángulo rectángulo, etc.

Segundo, ¿podemos construir un tetraedro desde un área cuadrada? Pasemos a la acción.

Si realizamos el desarrollo de un tetraedro regular podemos verlo como lo hemos toda la vida o de la siguiente forma

desarrollo-de-un-tetraedro

En la figura de la derecha, tenemos un paralelogramo cuya área es base x altura o lo que es lo mismo un rectángulo donde AB = a y la altura altura_tetraedro_regular.pngy por tanto su área es area_tetraedroregular.png.

rectangulo.png

Si pretendemos que el área sea un cuadrado, raiz de 3 tiene que tender a raiz de 4 para que la altura sea igual a la base. Siendo así, construimos la misma figura con nuestras dimensiones a x a.

tetraedro01.png

En este caso, formamos triángulos isósceles.

Ahora si convertimos cada uno de los lados de los triángulos en aristas del tetraedro, deberíamos doblarlos hacia el interior hasta que los medios triángulos que se han formado en los extremos, lleguen a unirse por el lado externo o lado del cuadrado debiendo formar algo como este tetradro.

tetraedro01.png

¿Cual es el valor sus aristas? Cada una de las aristas (las 6),  estarían formadas por los segmentos DF, FH, HG, GC, DH o HC y FG.

El área de este tetraedro es el área del cuadrado y por tanto el área de cada cara es una cuarta parte del área del cuadrado.

tetraedro03.png

Por curiosidad,

su arista vale

tetraedro06.png

y su volumen sabemos que este es igual a

tetraedro04.png

y para obtener la altura del tetraedro formado, nos fijaremos  en las rectas en rojo de la figura donde podemos apreciar la formación de un triángulo rectángulo donde en el eje vertical está contenida la altura que no conocemos y la hipotenusa y altura de una cara es el lado del cuadrado. Para simplificar el cálculo, diremos que x=b/2 y calculando con aquellos problemas de la altura h, m y n que hacíamos de pequeños.

tetraedro02.jpg

tetraedro05.png

Aún en la simpleza de estos cálculos, que bellas son las matemáticas. Saludos

 

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