Julio Rey Pastor fue un ilustre matemático logroñés cuyos innumerables trabajos son dignos de dedicación de mil artículos. Respecto a las ternas pitagóricas recordé en twitter un método de Rey Pastor para obtenerlas (no todas) que me parece bellísimo, pero un fallo de paridad en la transmisión de datos desde mi memoria a mi tablet, provocó una equivocación y no incluí los cuadrados de los factores primos, jeje, menos mal que twitter no está vacío y siempre hay alguien que se percate de ello, lo agradezco aunque sea un simple twitt, hablando de matemáticas no hay lugar al error.
El método está basado en una ecuación diofántica donde el resultado impar que pueda ser descompuesto en factores impares es tratado de la siguiente forma:
La demostración
Pues con este método podemos obtener múltiples ternas simplemente iterando por factores impares cuyo resultado sea impar.
¿Cual de los tres términos es mayor? Es evidente que de los dos términos que calculamos la suma es mayor que la diferencia, es decir que b>a
ya que sabemos que b>a, ¿c, el producto de ambos factores, es mayor que b? supongamos que esto es asi, de modo que
desarrollando llegamos al absurdo
ya que
con la demostración del orden de los términos, sabemos que la terna es
Si queremos obtener todas las ternas, habría que usar métodos adicionales
Una vez leí un libro de Edwin Abbott, Flatland o Planilandia (1884 su primera publicación) donde trataba las dimensiones desde una perspectiva inusual para su época, en la cual encubría una crítica hacia los aspectos que él pensaba inapropiados para ese momento y que el tiempo ha dejado prueba de su acierto. Por otra parte, dejaba ver mediante su relato un entendimiento de las dimensiones que posiblemente nadie se habría percatado en aquel y en este momento, pero sobre todo me hizo pensar como sería la vida para un mundo de números naturales donde todos los números estuviesen a la misma distancia, donde no existiesen números enteros ni reales pero que algún día lo hiciesen revelándose cada conjunto como si de una civilización se tratase desbancando a la anterior, donde ellos mismos fuesen descubriendo o evolucionando en base a lo aprendido por intelectos individuales o fusionados en equipo, donde hubiesen números malvados, benévolos, avaros, bondadosos, envidiosos, generosos, inteligentes, sumamente inteligentes, parásitos del entorno, distintos y cualquier adjetivo que pretendamos incluir en la infinidad de los números, pues así es este relato.
Siempre me han gustado los números, desde que no tengo uso de razón, incluso antes de saber leer. He leído acerca de ellos todo lo que mi tiempo me ha permitido y mi lucidez me ha permitido concebir y no olvidar.
Natural es una obra decimal que considera al ser humano desde sus inicios convertido en número, que contempla sus logros en las matemáticas, que ensalza aquellas personas que por tener un intelecto superior al resto no han podido evitar descubrir ciencia de la que hoy orgullosos podemos disfrutar los que tenemos más bajo entendimiento, que intenta que el lector perciba la belleza de las matemáticas, que sostiene la certeza de la existencia de cualquier tipo o ente en todas sus variantes y combinaciones en la infinitud, que incluso en este mundo ficticio pudo haber un creador o no, como conclusión y así espero haberlo hecho, he pretendido hacer llegar las matemáticas al lector como un relato donde al final ganan los números buenos y por ejemplo dos con su excelsa belleza termina besándose con el regordete tres a la distancia de la unidad.
Por otra parte, la rigurosidad científica de este relato deja mucho que desear, diría quimérica, insostenible e inventada, puesto que si estamos en la dimensión uno, no existiría una visión de altura porque entonces viviríamos en un plano de dimensión dos o no tendría colores, ya que el infinitésimo espacio de la línea no permitiría a un fotón en su recto itinerario que pudiera atravesarlo, en definitiva no es aplicable a ningún rigor científico, así que insto al lector a no efectuar críticas sobre tales aspectos, porque personalmente le aportaría alguna más e intentaría agotar sus intolerables artificios de boicoteo.
En cuanto al aspecto religioso, quiero recordar que los humanos siempre hemos atribuido a lo largo de la historia lo desconocido a lo espiritual, algo que desconozco debe pertenecer a un ser superior o algo que no entiendo debe ser brujería; lo que si es cierto, cuanto más ampliamos el conocimiento, más desconocimiento descubrimos y más entendemos que todo ha tenido que ser creado por un Dios, solo miren el cielo en una noche despejada, de modo que al igual que no existe rigor científico en el relato, con todos mis respetos, no existe crítica ni burla hacia la religión. Seguidamente, con la más estricta seriedad que atesora mi persona, debo aclarar que no soy escritor ni pretendo serlo, porque ser escritor entraña aspectos que van mucho más allá de escribir un breve relato; solo y exclusivamente he pretendido plasmar bajo el arte de las letras y como mejor me ha permitido mis entendederas una idea de años atrás de la que una vez por todas ha pasado de ser abstracta a permanecer en un servidor de cualquier parte del mundo donde nadie la lea.
Mi dedicatoria de estas letras es
A mis padres Pepe y Ani. Humildad, bondad, generosidad y honestidad.
Pasó un año desde la demostración de 2310; la línea seguía creciendo la cantidad de números, su cifra superaba los 100 octillones.
Mientras tanto en la línea aparecían nuevos números primos, cada vez costaba más encontrar alguno, pero siempre aparecía uno nuevo como predijo veintitrés, incluso aparecían primos gemelos que eran aquellos con número entre medias de ambos.
Hubo también algunos que decían hablar directamente con el creador Cero y que en sus sueños veían más allá del mundo natural, como si hubiese un universo o varios paralelos a este, Quinientos doce exponía el supuesto de volver hacia atrás, el lo llamaba diferencia, pero que no encontraba razón porque al llegar al creador Cero faltaba un algo que impedía demostrar su reflexión y por ello supuso que detrás del creador Cero habría una línea de números que crecía al lado contrario completando y formando una recta infinita en ambos lados y entera de números; cada vez que le llegaban noticias al respecto de este asunto a Cinco, este entraba en cólera y maldecía cada una de las palabras escuchadas.
Para que puedan apreciar el grado de abstracción de algunos como Tres millones ciento cuarenta y un mil quinientos noventa y dos (3.141.592), que decía tener el presentimiento de que tendría algún día alguien muy famoso en su familia y que no sería racional, caso curioso porque al mismo tiempo Dos millones setecientos dieciocho mil doscientos ochenta y uno (2.718.281) dijo exactamente lo mismo lo que provocó durante un tiempo una huelga de no transmisión de información donde unos miles de números por delante y por detrás del boicoteado, impedían que se propagase la información número a número. Esta mala arte fue una invención del número Seiscientos sesenta y seis al cual los números divulgadores apodaban con bestiales adjetivos.
Volviendo a lo racional, Veintitrés mantenía y apoyaba las ideas de Quinientos doce y al mismo tiempo un día hizo una arriesgada suposición:
—Mis queridos y apreciados números, en algunos de mis cálculos tropiezo con obstáculos insalvables y he llegado a la conclusión no de que al otro lado de nuestro creador Cero haya otro mundo, que me jugaría dos de mis múltiplos a que esto es así —esto no hizo gracia a Cuarenta y seis y Sesenta y nueve que elevaron el tono en la línea, pero cuando se calmaron, Veintitrés continuó con su intervención —si no que debe existir un mundo el cual sea tan pequeño y minúsculo como no puedan imaginar y que haya tal cantidad de números en ese mini mundo como los hay en nuestro mundo. —relató con extremada calma sabiendo el revuelo que se formaría.
La línea era un caos numérico, era un cuchicheo continuo; si el poder de eliminación de números estuviese vigente, Veintitrés estaría en el mundo del más allá del creador Cero; siendo así y a pesar de conocer los riesgos tuvo el valor de continuar—Es más, ¡hay infinitos mundos!—La línea se convirtió en un volcán, los números voraces vomitaban insultos ininteligibles, los de poco entendimiento repetían los insultos sin saber que decían, incluso algunos de los números inteligentes gritaban a favor de la vuelta de la eliminación a sabiendas del exterminio que conllevaba eliminar un solo número. Los minutos iban pasando y la línea como siempre se calmaba y de nuevo Veintitrés aprovechó la pausa —Entre cada uno de nosotros existen esos infinitos mundos—esta vez con menos ímpetu pero con firmeza. La línea de nuevo enfureció hasta calmarse de nuevo unos meses después; Veintitrés fue tachado de loco, trastornado, excéntrico, desequilibrado, paranoico y no sé cuantos calificativos despectivos más en su haber. A pesar de esto, él estaba convencido en que el tiempo convertiría lo irracional en racional y al contrario.
Un octillón de números después, apareció un número con un nombre incapaz de leer e incapaz de escribir sus cifras por cualquier número de la línea, el cual sugirió de la existencia de otras dimensiones y la posibilidad de demostración matemática, es más, indicó que la línea era un lugar de una sola dimensión y advertía que jamás un habitante de la línea podría visualizarlas. La complejidad de este pensamiento determinó de nuevo en la línea un caos que la mantuvo ocupada por mucho tiempo, esta vez sí decidieron eliminar a este indescifrable número puesto que entendieron que ya había demasiado números en la línea y que la extinción de sus múltiplos no afectaría nada al resto, pero le salvó eso, su nombre, nadie fue capaz de leer su nombre en la sentencia final por lo que lo dejaron vivo con un castigo de por vida de no realizar divulgación alguna. Él hizo caso omiso del castigo y continuó divulgando a sabiendas de su inhabilitación ya que cada vez que intentaban reprenderlo de nuevo, la lectura de su nombre se hacía interminable y desistían. Fue el número que más aportó a la línea en los años venideros.
Los tres primeros números, los que estuvieron desde el principio eran buenos amigos, compartían conocimientos, tertulias interminables sobre los nuevos descubrimientos. Tanto tiempo juntos, tantas vivencias compartidas, tanta cooperación, tantos pensamientos y objetivos comunes para el bien de la línea, tanto, tanto, tanto…
Tres con su aspecto regordete, con su cara de buenazo, con su eterna sonrisa, con su aspecto según los perversos y malignos números de retrasado pero con una inteligencia como nadie poseía en la línea era todo ojitos para el perspicaz, ingenioso, esbelto y bello Dos. Entre los dos siempre había una conexión especial; Dos el primer único primo par, si moría, la mitad de la línea desaparecería, mientras que Tres para ser el primer primo impar y que el desapareciera, una tercera parte de la línea quedaría también para ocupar espacio en la dimensión del creador Cero y a pesar de la importancia de estos en la línea para su existencia lo más importante de todo fue su habilidad para ver más allá de lo natural, más allá de lo visible.
Un día Tres entre balbuceos, tartamudeos y titubeos dialécticos e ininteligibles declaró su amor a Dos. Dos, no entendió nada, lo que se dice nada.
—Tres, ¿te importaría repetirme tus palabras sin necesidad de usar un algoritmo de descifrado?—Preguntó Dos, a lo que Tres armándose de valor respiró tres veces y dijo:
—Dos, eres los más bello e inteligente que he visto jamás. —En realidad no estaba mintiendo porque el otro número que había visto era Cuatro con su aspecto alto y afilado añadido al azul cobalto de su tono. Tres continuó—Dos, te amo. La distancia que nos separa sería capaz de convertirla en el más pequeño infinitésimo mundo entre los dos para así unirnos y destemplar los albores de la línea con solo abrazarte. —Dos quedó estupefacto pero sorprendidamente feliz porque aquellas palabras se introdujeron en lo más profundo de su ser, Dos sentía algo parecido pero jamás habría tenido el valor ni siquiera tartamudeando de declararse así. Dos encendió su color rojizo convirtiéndolo en rojo pasión y aprovechando su esbeltez desafió las leyes de la línea y alargó su esbelto cuello hasta Tres propinándole un beso que hizo mutar a verde Esmeralda. El beso se prolongó durante dos horas mientras en la línea ocurrió lo inesperado.
— ¡Escucho algo al otro lado de la figura de nuestro creador Cero! ¡Escucho voces, muchas voces! —Gritó la Unidad. Los números enteros acababan de nacer.
El beso de ambos números provocó algo más que la creación de infinitos números negativos. El espacio entre Dos y Tres se dividió en dos partes del color de su anfitrión, la división volvió a dividirse en los dos colores, las nueva divisiones lo hacían infinitésimamente hasta que el número de divisiones bicolor hizo una mezcla del rojizo de Dos con el verde de Tres convirtiéndose en un espacio de color marrón de una unidad de ancho. A todos los espacios entre cada número de la línea les ocurrió lo mismo. Las primeras apariciones de nuevos números fueron rápidas. Primero un tal Raíz de Dos, luego Raíz de Tres, posteriormente un tal Pi y más tarde uno que se hacía llamar e.
Entre cada uno de los números fueron apareciendo números y más números, infinitos números; a día de hoy siguen haciéndolo como ocurre al final de la línea. Los incrédulos callaron para siempre. La línea comenzó a ser real e irreal.
Once era un número de aspecto serio, bastante más serio que la fisonomía de la Unidad, parecía como doblemente serio y aunque su tono marrón era igual que la Unidad, era mucho más alto, así que imponía, como si cada vez que hablará fuera a decir verdades sin tener que razonarlas. Once era famoso por tener gran ingenio pero por demostrar pocas cosas, tenía miles de conjeturas que en realidad, todas tenían fundamento, pero no las demostraba dejando este trabajo a otros números más inquietos.
Dos un día les mostró al resto que había descubierto familias de tres números cuyo suma de cuadrados era igual al cuadrado del tercero siendo los dos primeros menores que el tercero.
—Estimadas cifras de la línea, tengo el honor de mostrarles una nueva familia, —dijo Dos — ¡las ternas! Se trata de la suma de los cuadrados de dos números equivalente al cuadrado de un tercero de la lista y como ejemplo… voy a exponer a nuestro querido y prestigioso amigo Tres junto a su respetado Cuatro —Cuatro blincaba en la línea —y nuestro estimado, bienquisto y considerado Cinco —Alabando y tratando de agradar a este con el fin de obtener el beneplácito por anticipado. —Hay muchos más, diría que infinitas familias de 3 elementos.
Veintitrés oyó infinito y allí que se abalanzó grandilocuente.
— ¡Todos los múltiplos de de las primeras ternas también son ternas! —Gritó dirigiendo su voz hasta los primeros números — ¡Además la diferencia de dos cuadrados consecutivos es impar! Y como hay infinitos números impares, ¡los habrá de ternas!
Si había que demostrar algo sobre infinitos, no había mejor número que Veintitrés. Dos, respondió agradeciendo con refinada y elevada elegancia y antes que este acabara la frase, Once interrumpió con su bronca voz de ultratumba.
—Es verdad que existen infinitas ternas de cuadrados, pero… no existe ninguna terna para cualquier otro número elevado a 3 o cualquier otro superior a 2. En la línea no encontraréis ninguna terna con exponente superior a 2.
n>2 xn + yn = zn
Dos quedó confundido, estupefacto, perturbado, boquiabierto, petrificado y un sinfín de calificativos de sorpresa. No esperaba que el día de la publicación de las ternas, Once apareciera con algo así, es más, después de la demostración espontánea de Veintitrés sobre la infinitud de las ternas y Once volvía a hacerlo como en otras ocasiones, soltaba la piedra y escondía la mano.
—Pero Once, ¿cómo se te ocurre decir algo así? Habría que demostrar lo que estás diciendo, pero deberías entender que es muy probable que haya algún resultado con esas características en la infinitud de la línea, ¿no crees? —espetó Dos con algo de enfado.
—Dos, tengo la demostración al respecto, pero lo dejo para que otros números de la línea alimenten sus almas algebraicas con ello. —dijo Once.
Pasaron meses, años y Once no demostró ni dijo nada, volvió a hacerlo un sinfín de veces, tantas como múltiplos tenía Mil, nadie dudaba de su destreza, pero no demostraba nada, mientras números con una sobresaliente inteligencia gastaban su tiempo en buscar una demostración. Solo unos años más tarde Tres pudo realizar un engorroso y complicado argumento donde llegó a demostrar que no existían para n igual a 3. Tres seguía ganándose a pulso su estrepitosa fama de genio. Pasaron muchos más, unos 300 años para que Dos Mil Trescientos Diez, el quinto primorial obtuviera una complejísima demostración generalizada. No existían soluciones como predijo Once.
A la Unidad se le ocurrió una idea, delegar funciones en algunos números, pero que estos para asumir estas funciones deberían tener alguna característica muy especial por la cual cualquiera de los números de su entorno no tuvieran valor moral a discutir sus decisiones o mandatorios. La Unidad habló con Dos para llevar a cabo esta misión y Dos se puso a pensar.
Dos debatió con Tres largos momentos sobre el asunto, llegaron a la conclusión que los 9 primeros eran especiales, pero por ejemplo cuando Dos iluminaba sus múltiplos algunos de estos estaban entre los primeros, de modo que se descartaban; debían ser únicos.
Un día Dos realizó un experimento, le llamó La Criba. Este hizo que todos los números menores de 100 exceptuando a la Unidad iluminaran sus múltiplos también menores de 100. Una vez iluminados, los hizo apagar y ordenó que brillaran aquellos menores de 100 que habían quedado atenuados. Quedaron 24 más él.
Dos no pudo descansar ese día, de los 24 que quedaron que no eran múltiplo de ningún número anterior, no llegaba a determinar un patrón que los agrupara. Estaba claro, eran únicos en su especie, pero por muchas vueltas que podía dar a su esbelta cabeza de cisne, no conseguía generalizar que números no eran múltiplos de nadie excepto de la Unidad. Ese día se repitió convirtiéndose en obsesión y después de mucho tiempo casi los dejó como caso perdido, él los llamaba los primeros, pero luego para acortar, el resto de números comenzaron a llamarlos primos. Esta forma de llamarlos tampoco le desagradó a Dos, porque entendía que de verdad debían ser familia puesto que no había nada que los relacionara con el resto además de ser los primeros.
Por otra parte, el hecho de saber que había números «especiales», en general no hizo mucha gracia al resto, unos ignoraban desde su significado hasta el por qué de su rareza, otros decían que no era justo, otros solicitaban serlo, algunos primos renegaban de serlo, como anteriormente ocurrió con los pares que querían ser impares o viceversa, en fin, como todo en esta vida, nunca llueve a gusto de todos, pero la evidencia así lo mostraba y no había vuelta atrás en el descubrimiento.
Veintitrés que era el noveno en la lista, estaba un día pensando ajeno a los juegos de preguntas sobre su cabeza entre Veintidós y Veinticuatro. Sus pensamientos se centraban en la recurrencia, él pensaba que si debía existir algún patrón para los primos debía ser recurrente, el pasado debía ser la raíz del futuro, así que mediante operaciones recursivas obtenía el mayor de los divisores entre dos números llegando a la conclusión que si este divisor era la Unidad, estos dos números eran especiales entre ellos, puesto que no habría ningún divisor común entre ellos que no fuera la Unidad; al principio le pareció un gran descubrimiento porque todos los primos tenían esta característica, pero Tres rápidamente advirtió que esta característica podía ocurrir con números que no eran primos, así que su gozo en un pozo. Así mismo, Tres se dio cuenta de esta gran característica y para advertir su peculiaridad, indicó que cualquier número que tuviera como máximo divisor a la Unidad con otro número, podrían sentirse como de la familia aunque no lo fuera, así que los llamó coprimos. Este descubrimiento fue un festival en la línea, ya que se vieron implicados millones, bueno diría trillones, bueno diría que infinitos números con un coprimo diseminado a lo largo de la línea; provocó además que esa distinción atenuara los aires de malestar algebraico.
Tres, cuando hizo público el descubrimiento, él mismo quedó asombrado puesto que no imaginaba que hubiese tal cantidad de coprimos, pero sin embargo esto aún le provocó mayor curiosidad sobre ¿cuántos coprimos tendría un número cualquiera?
—Tres, Veintitrés ha hecho una gran descubrimiento con su algoritmo recursivo, de hecho estoy usándolo al revés para generar combinaciones lineales, ¡es genial!, ¡pero lo tuyo ha sido de otra línea!, primero has calmado el descontento algebraico y segundo, creo que nos va a servir de gran ayuda para nuestros estudios —dijo Dos.
Así es Dos, pero agárrate a la línea, cualquier número puedo descomponerlo en primos y una vez descompuesto, en base a estos, se que si es primo, tiene tantos coprimos menos la Unidad, —concretó Tres —es más si es una potencia de un primo, se que tiene los mismos multiplicado por la potencia menos la Unidad.
— ¿En serio? ¿Me estás diciendo que los coprimos están íntimamente relacionados con los primos de ese modo? —preguntó Dos.
—Así es, pero… aún hay más. —añadió Tres, puedo hacerlo con cualquier número.
— ¡No! —exclamó Dos.
—Si Dos, piensa, es pura lógica, te he dicho que cualquier número es posible descomponerlo en primos o en potencias de estos y como se cuantos coprimos tienen los primos o sus potencias, puedo saberlo con cualquier número de la línea. Mira, por ejemplo Ciento Ocho eres tú elevado 2 veces o sea Cuatro por mi elevado 3 veces o sea Veintisiete —en la lejanía Ciento Ocho gritaba preguntando quien hablaba de él — esto implica que puedo calcular los coprimos que tiene Cuatro que son 2 y los que tiene Veintisiete que son 18, por tanto el número de coprimos es el resultado de la multiplicación de ambos, 36.
Dos no podía creer que aquel regordete sonriente con cara de no muy espabilado llegara a descubrir lo que estaba viendo, cuan ingenio tenía este número. Dos siempre se recordaba a sí mismo una y otra vez no volver a realizar un prejuicio en virtud de las apariencias, Tres era un verdadero genio.
Hablando de nuevo de primos, al igual que Siete inventó el Factorial, a Veintitrés se le ocurrió lo mismo pero para los primos así que le llamó Primorial, es decir que el Primorial del tercer primo era el equivalente al producto de Dos, Tres y Cinco, es decir Treinta. Él puso como ejemplo este mismo y a Treinta le vino de maravilla que se hablara de él; Treinta era un número con poca sesera, solo le importaba ser famoso en algo pero sin hacer nada, siempre comentaba que tenía un pariente muy cercano a la Unidad que era de lo más listo, que rebosaba inteligencia pero cuando le preguntaban sobre los estudios o avances que había realizado, trasladaba su conversación a que él tenía como vecinos a Veintinueve y Treinta y Uno, que ellos eran primos seguramente porque él se encontraba allí y bla-bla-bla, en definitiva, conversaciones banales para aprovechar los logros o virtudes de los demás en su beneficio.
Volviendo a los primos un día en la línea, cuando todo estaba algo más calmado de lo habitual, Veintitrés dijo:
—Hay más números primos que cualquier cantidad propuesta de números primos, es decir, hay infinitos números primos en la línea.
En seco, así, sin comerlo ni beberlo, lo soltó. La mayoría de la línea como siempre lo daba por hecho que alguien como Veintitrés, Dos, Tres o Siete dijeran alguna de esas frases épicas, en ese caso, los demás asentían y hasta otra, pero esta vez Cinco de nuevo como tercer miembro de los primos interpeló atención.
—No es posible que haya números primos infinitos, reconozco que a día de hoy, se que se están generando nuevos números y que no terminarán de crearse, pero es evidente que números tan especiales ya conocidos como nosotros, cuanto más se alejan en la línea desde nuestro creador Cero, se hace más escasa su presencia, por tanto llegará un momento en el que no exista alguno más, de modo que, somos únicos y finitos. — puntualizó Cinco.
—Cinco, supongamos que solo conocemos los tres primeros primos, Dos, un servidor de esta línea y tú cuyo producto es un número compuesto como Treinta —Veintitrés relataba mientras Treinta agudizaba para su próxima historia — pero además le sumamos la Unidad y su resultado puede ser primo o no. En este caso Treinta y Uno es primo y no estaba en la lista inicial, por tanto podría ocurrir, pero no, demos por hecho que no es primo. Si no es primo debe existir un número primo de ese conjunto que divida a Treinta y Uno, el cual no existe, —Cinco refunfuñaba — o si existiese debería dividir al producto de ellos porque existe antes, de ese modo debería dividir a la diferencia entre el número y el producto de los primos conocidos cuyo valor es la Unidad, así que este número primo debería dividir a nuestro baluarte, la Unidad, caso que es improbable e imposible, así que si existiese no estaría en el grupo inicial, por tanto siempre, siempre existirá un nuevo número primo en la lista. He dicho.
Cinco a pesar de no estar a la altura del pensamiento, lo entendió a la primera. Cinco estuvo por un tiempo callado esperando una nueva réplica u objeción o lo que fuere, daba igual, el inconformismo, la envidia y la maldad estaban de su parte.
En esta época hubo dos grandes avances. Veintitrés había sido usado para comprobar el sistema numérico decimal y esto le llevó y le incitó a ser mucho más curioso en sus estudios. Observó que cuando Dos activaba a los pares, la base de estos se iluminaba, así que cada vez que esto ocurría, él veía a Veintidós y Veinticuatro de este modo. Según tenía él entendido, estos eran los múltiplos de dos o lo que era lo mismo, Dos multiplicado un número de veces y cada número por el que era multiplicado Dos, era el resultado de un múltiplo suyo. Entonces pensó; ¿Y si hacemos al contrario? Con el número par, es posible obtener el número de veces que ha sido multiplicado por Dos. Pues así fue, ideo un método y este fue extendido para millones de sucesiones del mismo tipo. Él le llamó división.
Siete se especializó en Combinatoria y aprovechó en demasía la división. Esta era una especialidad que él decía que algún día podría contar conjuntos de números mucho más rápido. Él ponía como ejemplo un supuesto,
— ¿Cuántos números se formaban desde nuestro Creador hasta Noventa y Nueve?—todos contestaban al unísono —Cieeeen.
Siete explicaba que eran 10 números, desde Cero Creador hasta Nueve, que como decía el mandamiento de nuestro Creador si alguien multiplicaba al Creador el resultado sería él, esto indicaba que podrían incluir imaginariamente a una figura de Cero el Creador a la izquierda de números con una cifra siguiendo invariable su valor, así que desde Cero el Creador (00) hasta Noventa y Nueve (99) había 100 números que era el equivalente elevar a la potencia Dos, de dos cifras la base decimal.
—Eso no es un gran avance, no es necesario hacer ese cálculo para saber que entre Cero nuestro Creador y Noventa y Nueve hay 100 números —replicó Cinco.
—Y si os dijera que ¿Cuántos números pueden formarse desde Cero nuestro Creador hasta Noventa y Nueve sin repetir ni un solo número? —dijo Siete.
— ¿Que quieres decir? —replicó Cinco.
Ante el tono de voz de Cinco, rápidamente Siete advirtió que aquella pregunta podría acabar como otras tantas veces en contra del descubridor en un tribunal inquisitivo, así que hizo una pausa y dijo:
—Vale, lo digo de otra manera, ¿Cuántos números hay desde Cero nuestro Creador hasta Noventa y Nueve, que no tengan ni una sola cifra repetida? —la línea entró en murmullo continuo y Ocho contestó:
—Hay 90, porque solo hay 10 cifras que se repiten nuestro Creador (00), Once, Veintidós, Treinta y Tres, Cuarenta y Cuatro, así hasta el Noventa y Nueve.
—Bien Ocho, buena deducción, pero y si preguntara por las que hay hasta Novecientos Noventa y Nueve —dijo de nuevo Siete.
La línea calló de inmediato, Ocho iba bien encaminado pero le costaba seguir contando esta vez.
—Hay 720 números —exclamó Siete y murmullo en la línea de nuevo.
—Todos los números que no tengan una cifra repetida hasta Novecientos Noventa y Nueve, que se iluminen —gritó la Unidad.
Desde la Unidad hasta el último fueron diciéndole al de su derecha, si estaban iluminados le sumaban una Unidad y si no lo estaban, repetían el valor y el resultado final… 720. El silencio de nuevo dueño de la línea.
— ¿Cuántos números hay desde Cero nuestro Creador hasta Noventa y Nueve, que no tengan ni una sola cifra repetida y además… el orden de sus cifras no importe?, es decir que Treinta y Dos (32) no cuenta porque puede convertirse en Veintitrés (23) si se cambian sus cifras— preguntó y mostró el ejemplo Siete.
A Treinta y Dos no le hacía mucha gracia que hablaran de él así, le molestó que no contaran con él. Treinta y Dos era uno de esos números narcisistas que su ego le llevaba a pensar y decir que era más importante ser potencia de Dos que un solitario Veintitrés, le gustaba elevarse a sí mismo hundiendo a otro número fuese el que fuese.
Murmullo. Siete calló a todos.
—Hay 45 números hasta 99 y 120 hasta Novecientos Noventa y Nueve, usemos el principio de inducción, hagámoslo primero con los números hasta Cien, es decir con dos cifras luego lo haremos con 3 cifras —añadió Tres.
Comenzaron a contar primero con dos cifras.
—45, 45 números sin cifras repetidas hasta Noventa y Nueve —contestó Noventa y Nueve y comenzaron de nuevo con las tres cifras.
—120 hasta Novecientos Noventa y Nueve —replicó este último.
—Siete, tienes que indicarnos tu generalización y como calculas esos valores para aplicar el principio de Inducción mediante cálculo. —dijo Tres.
—Aún queda una cuestión más —dijo Siete — ¿Cuántos números hay desde Cero nuestro Creador hasta Noventa y Nueve, que puedan repetirse sus cifras y además… el orden de sus cifras no importe?
—Siete está delirando —contestó Cinco.
—Tres, Siete ha descubierto algo importante, sus cálculos tienen una potencia enorme, si puedes demostrarlos, debemos aprenderlos inmediatamente —murmuró Dos, —55 —dijo Dos levantando la voz.
Era evidente, si había 45 sin repetir, añadiendo 00, 11, 22…99 obtenemos entonces 55.
—Todos nosotros tenemos gran culpa de este cálculo, los primeros números aún más porque siempre participan. La combinatoria usa multiplicaciones de cada uno de nosotros, le he llamado Factorial (n!), —añadió Siete, mientras que en la línea no paraba de escucharse,
—Factorial, ¿ha dicho factorial?
—Si hablo de Factorial de Cuatro (4!), lo que estamos haciendo es multiplicar la Unidad y Dos, el resultado a Tres y el resultado a Cuatro que da como resultado Veinticuatro. —Este último comenzó a dar saltos de alegría, era la primera vez que se hablaba de él en la línea.
—Y ¿qué podemos hacer con el factorial? —dijo Dos.
—Tranquilo Dos, tu ansia de conocimiento es inversamente proporcional a tu paciencia. Solo hay una pequeña puntualización sobre el factorial, el factorial de Cero Nuestro Creador eres tú, la Unidad. —Murmullos en la línea.
— ¡Blasfemia! — ¿cómo no? gritó Cinco.
—Espera Cinco, antes de acusar a nadie. Conocemos de sobra que nosotros somos fruto de nuestro pasado, es decir de su predecesor, ¿recordáis?, bien, pues un factorial también puede expresarse como la multiplicación o el producto, me gusta más este término, del factorial anterior y el número. Así que el factorial de un número al ser dividido por el propio número, debe tener como resultado el factorial anterior, ¿bien hasta aquí? ¡Vayamos al pasado! — exclamó exultante Siete.
—Pues claramente si el factorial de Dos dividido entre el mismo debe ser factorial de la Unidad, el factorial de la Unidad entre la Unidad debe ser el factorial de Cero el Creador y este resultado es la Unidad, increíble, ¿no?
—Ciertamente es fantástico, es inconmensurable, es asombroso escuchar tu afirmación, pero por favor continúa —dijo Dos.
—Dos y Tres sé que esto os va a gustar, continúo… —Siete estuvo hablando sobre Variaciones, Permutaciones, Combinaciones con repetición sin repetición, sobre posibles aplicaciones durante horas. Tres conformaba cada una de las fórmulas y las nuevas operaciones, Dos escuchaba.
El ruido en la línea era insoportable. Los números no paraban de expandirse, la sucesión continuaba y continuaba ejecutándose en función del elemento anterior generando números cuyo nombre ocupaba casi más que sus cifras, números enormes incomprensibles para el entendimiento por cualquier civilización.
Ante la magnitud de números en la línea, Dos y Tres seguían sin pasar desapercibidos, eran conocidos a lo largo de la línea con excelsa fama. Como Dos y Tres, con sus habilidades intelectuales había infinitos números, es más, había infinitos números con mayores destrezas, pero la lejanía y el ruido les impedían contactar y compartir conocimientos.
A estas alturas, Dos era capaz de iluminar a su antojo a todos los múltiplos suyos de la línea, el los llamaba Pares. La Unidad, podía hacer lo mismo a los que llamaba Impares. Habían usado una nueva función recursiva para obtener las familias de los pares e impares.
El número de sucesiones de este tipo llegó a colapsar alguna vez la línea, nadie sabía que sucesión se estaba ejecutando de modo que la Unidad prohibió el uso de sucesiones sin permiso expreso de él mismo.
La Unidad por ser el primero, asumió el rol de líder en cuanto a toma de decisiones; se hacía lo que él decía pero siempre había alguien entre la infinitud que protestaba, entre que llegaba y no llegaba la protesta, podían pasar en algunos sitios años, de modo que no llegó a preocuparle en demasía.
Durante este periodo, se hicieron grandes descubrimientos. Al igual que alguien podía iluminar a cualquier otro de la línea mediante una multiplicación o sumas continuas, llegaron a la conclusión que multiplicaciones continuas podían calcularse mediante un método al que llamaban exponenciación o potencias. Esto les llevó a un gran descubrimiento, El Sistema de Numeración Posicional. A esto llegaron atendiendo a la cantidad de números inicial y si en cada iteración de esos diez primeros el orden provocaba un nuevo número unido al anterior, esto debería estar provocado por algún cálculo generalizado. Así fue como Tres un día estableció la siguiente generalización donde un número expresado como
Podía expresarse como una suma de números por potencias de 10, a Diez se le otorgó el título de Base.
Para llegar a este punto, tuvo que convencer al resto que cualquier número elevado al Creador era el resultado de la Unidad; le costó meses pero por fin lo consiguió. Así que cualquier número podía expresarse descompuesto como la suma de cada uno de sus dígitos por Diez elevado a la posición en la que se encontrase el número. Tuvo que usar a Veintitrés como ejemplo y a Mil Setecientos Veintinueve. Con Veintitrés lo tuvo fácil
Veintitrés quedó asombrado al ver como él podía ser descompuesto de ese modo y encima era verdad. Con Mil Setecientos Veintinueve pasó algo parecido, la voz se corrió como la pólvora con el buen resultado de las pruebas
Es más, Tres, llegó a insinuar que habría más líneas en otros universos donde podrían existir otros sistemas de numeración con bases distintas donde no habría un Nueve o donde existiesen otros números totalmente inexistentes en la línea de base Decimal que es así como la llamaron. Esta idea de líneas en otros universos, no les gustó mucho pero Tres conforme con el estudio y el conocimiento persistió e incluso llegó a efectuar cálculos que demostraban la validez de sus ideas. Lo hizo con una línea de base Octal en la que al llegar al Ocho, se reiniciaba de nuevo al Diez de modo que el Ocho y el Nueve no existían en ninguna de sus formas. Realizó sumas, multiplicaciones y todas con resultado satisfactorio, pero como dije, el hecho de plantear otras líneas en otras bases no les hacía mucha gracia, especialmente a Ocho y Nueve que con el ejemplo quedaron con depresión durante meses al no contar con ellos en la existencia. Pero la peor de todas, fue cuando Tres siguiendo su generalización y la existencia de líneas en otras bases, habló sobre la línea en base Binaria donde el mismo y su gran amigo Dos desaparecían dejando en ese ficticio mundo al Creador y a la Unidad. Aquello fue uno de las más osados relatos de Tres, puesto que a pesar de tener un gran prestigio intelectual se estuvo valorando la opción de eliminarlo de la línea como no, con la intervención de Cinco acción que fue evitada gracias a Dos en la que expuso lo siguiente:
—Antes de tomar decisiones erróneas deberíamos pensar que Tres tiene infinitos múltiplos, su muerte provocaría la muerte de sus infinitos múltiplos. Por otra parte, debería pensar que la extinción de un número como Tres provocaría que el sistema colapse a un sistema en base Nonal, lo que nuestra aritmética cambiaría además de la gran pérdida intelectual y numérica de nuestro sistema —El ruido de la línea despareció como una ola hasta el infinito y se mantuvo así durante unos minutos hasta que por fin la Unidad habló.
—Propongo desde este mismo momento, la prohibición absoluta de cualquier extinción o eliminación numérica.
La propuesta fue aceptada por unanimidad desde el Dos hasta el infinito; todavía hoy hay números que están recibiendo esta noticia.
Tres no fue eliminado y su sistema binario olvidado por los demás. Dos y Tres a pesar de no estar incluidos en ese sistema, no lo olvidaron y lo siguieron estudiando, era incluso más simple y mejor que cualquier sistema numérico o eso decían.
Ocho y Nueve habían nacido. Ocho fue anunciado por Siete y cuando Ocho tomó conciencia, descubrió a Nueve como si hubiera estado allí siempre.
Su tono grisáceo le daba un aspecto serio, era elegante, cintura de avispa, mediana altura, al verlo por primera vez impresionaba en cambio Nueve era más bajo, eso sí delgado pero con una voluminosa cabeza, su color era rosa, de modo que no pasaba desapercibido.
Pasaron días y no ocurría nada en la línea, Dos y Tres continuamente debatiendo por aspectos más filosóficos que matemáticos, Unidad siempre escuchando, Cinco también, pero siempre buscando donde meter cizaña, el resto ni fu ni fa, excepto Nueve. Nueve miraba a su izquierda y allí estaba Ocho tan elegante, ausente o eso parecía y Nueve cuando miraba a su derecha, el vació de la línea lo deprimía, todos tenían alguien a su derecha, eso que contaban de la infinitud debía de ser en otro mundo, porque en la línea no.
Cero, el Creador los pilló por sorpresa.
—Conocéis la suma, habéis descubierto las sumas continuas, habéis llegado a vuestro fin —hizo una pausa —y habéis comenzado vuestra carrera infinita. La unión nos permitirá continuar infinitamente.
Todos los números quedaron boquiabiertos, era la primera vez que escuchaban a Cero el Creador a excepción de la Unidad. Esa convexa voz se introducía en sus cerebros mono-dimensionales sin escapatoria. Cuando terminó, pasaron unos segundos hasta que empezaron a pestañear. Cero el Creador instantáneamente plantó un ser inerte, redondeado, alargado y hueco en su interior, de color blanco en el sitio elegido por él para ser idolatrado. La imagen dejó a la Unidad estupefacto.
— ¿Eres tú mi Creador? ¿Realmente sois así? —A pesar de la insistencia, la Unidad no obtuvo respuesta e incluso a pesar de ello, no dudó en contárselo a Dos.
—Dos, Cero nuestro Creador ha aparecido a mi izquierda, pero no habla, no dice nada es como si quisiera que sepamos cómo es él, es increíble. — Dos y Tres que ya andaban pensando en las palabras de Cero, preguntaron por su apariencia a lo que la Unidad no tardó en describir.
El hecho que pasaran días sin cambios y de repente ocurriera, era una muestra evidente de la planificación inicial de Cero, el Creador conocía lo que ocurriría, sabía que los números llegarían a ese punto, pero sin nuevas normas, no lograrían evolucionar.
Tres escuchaba pero al mismo tiempo se encontraba ausente, analizaba las palabras del Creador «Habéis llegado a vuestro fin y comenzado la carrera infinita». Era incuestionable que había un punto de inflexión en la evolución de los números, sabían sumarse pero no podían hacerlo puesto que era su fin si… — pausó aún más sus pensamientos y exclamó:
—… ¡Si nos unimos!
—Dos, creo que tengo la solución, pensemos Estamos ordenados y hemos llegado a nuestro fin, pero necesitamos la unión para poder continuar. Comencemos de nuevo —Dos no llegaba a entender.
—No entiendo Tres, aclárate.
Tres hizo un esfuerzo de imaginación para que Dos pudiera entender su idea.
—Piensa que ahora nuestro Creador ha engendrado una imagen detrás de la Unidad, no es él, pero pretende que creamos que es él, así que si hubiera un grupo de números a continuación con el mismo patrón que nosotros pero fueran distintos gracias a la unión de nosotros, podríamos continuar creciendo infinitamente. —Dos no entendía —Es más, si el grupo que formamos ahora fuera y es la primera familia del Creador, la siguiente debería ser la familia de la Unidad y por estricto orden y a una distancia de la Unidad, la siguiente la tuya, después la mía, etcétera hasta Nueve y cuando llegue al que esté a la derecha de Nueve comenzará de nuevo su propia familia y así hasta el infinito que ¡jamás podremos llenar!
Dos con argumentos dubitativos,
—Tres te entiendo perfectamente pero no llego a visualizarlo del todo, me cuesta verlo. Lo de la unión no lo capto.
Tres exclamó con fuerza
— ¡El siguiente número a la derecha de Nueve debería la ser la unión de la Unidad y nuestro Creador!
La línea se convirtió en una espectacular fiesta de fuegos artificiales, las voces se secundaban una tras otra sin interrupción, se creaba un número y al mismo tiempo se preguntaba por el nombre del siguiente, mil números atrás se preguntaban por los nombres de los mil siguientes. Cada segundo se creaban un millón de números, en escasos segundos la línea alcanzaba millones de números, un año después la línea tendría 31,536 billones de números. Unos cuantos miles de años después de la creación del primer número de unión, se crearía el primer trillón, y unos millones de años bastarían para el octillón¹. A día de hoy, la línea sigue creciendo en cifras de difícil pronunciación y aunque ya está llena, todavía no se ha llenado.
Solo quedaba un mandamiento por descifrar, imaginaba en cada sueño poder hacerlo. Unidad se quedó relajado, como si todo estuviera ya hecho, Dos después de la última donde Cinco le acusó de calumnias y blasfemias, quedó tocado, una mente brillante como la suya quedó ensombrecida por su subsistencia, cinco números bastaron para callarlo aunque no estaba vencido, simplemente callado. Cuatro, dedicaba más tiempo al análisis sintáctico y morfológico de los mandamientos, los entendía, pero buscaba otras puertas como él decía ocultas. Seis y Siete nacieron casi al mismo tiempo, Seis era barrigón, como cansado, aunque era alto, su anchura era mayor, su color amarillo, le daba un aspecto enfermizo, además no parecía interesarle para nada el estudio. Siete al contrario era mucho más alto que Cuatro, muy parecido porque estaba echado hacia atrás también, tenía un flequillo como el saliente de un porche, a veces llevaba cinturón, otras no, su color era rojo. Ambos, Seis y Siete, no estaban bien educados como el resto, Cinco no era de fiar y el egoísmo era su principal característica; Cuatro podía hacerlo pero a él le gustaba más el análisis de la lengua. Tres en cambio, aquel regordete sonriente, era un portento, se dedicó al estudio a pleno rendimiento, su habilidad con el pensamiento, con las letras con el cálculo con cualquier tema que se le cruzara, era digno de apreciar. Ni Cinco se atrevió más a dirigirse a él. Tres fue el culpable del principio de inducción y de algo más, algo mucho más interesante. Tres fue el culpable de que Ocho y Nueve nacieran. Tres un día desde su posición media llamó a todos los números. — ¿Recordáis el principio de ordenamiento?— todos contestaron al unísono con un sí, unos convencidos, otros para que les dejara en paz. —Si sumara uno de nosotros a nuestro Creador, ¿Que ocurriría?—silencio en la línea, Tres había tocado el tema estrella —El resultado sería el mismo —Con un tono audible a distancia 1, Dos contestó. — ¿Y si lo hiciera yo? — contestó Tres. —El resultado sería el mismo también —Con el mismo tono de voz contestó Dos — ¡Os presento el principio de inducción! —Todos atendieron y al mismo tiempo desatendieron —Si podemos comprobar que para un número cualquiera se cumple un resultado, para el siguiente, es decir para el que está a mi derecha debe ocurrir igual. La manera de demostrar que Dos multiplicado con nuestro Creador es el propio Creador Cero, debería surtir efecto para Tres acción que igualmente ocurre claramente y en el caso que no ocurriese, estaríamos en un error. La Unidad y Dos lo entendieron rápidamente, los demás o no hicieron caso o sus conocimientos no les permitían alcanzar el entendimiento. — ¿Esto tiene que ver con el mandamiento sin descifrar, verdad? —Dos, preguntó —Así es querido Dos; debemos pensar que ahora solo conocemos a Siete como el último nacimiento, pero si aplicamos la sucesión generalizada recurrente ¿cuántos sucesores nos quedan por descubrir? si aplicamos a Siete el principio de inducción debería haber algo más porque si no, estaríamos en un error y nosotros no seriamos nada, es decir que estamos ante una sucesión infinita. Esas últimas palabras fueron como un gong en un monasterio tibetano. Todos quedaron expectantes ante aquella nueva palabra, «infinita». Dos como siempre fue el primero, era el más hábil con los de su especie. — ¿Quieres decir que «Llenarás el mundo y jamás lo completarás» significa Infinito? —Así es querido Dos. Si aplicamos el principio de inducción continuamente a cualquiera de los nacidos en esta dimensión, no pararíamos, siempre habría alguien por nacer a la derecha, porque si no, no existiríamos. Los mandamientos de nuestro Creador no tendrían sentido. La Unidad giró dos veces en un abrir y cerrar de ojos y alguien gritó al final de la línea. — ¡Ha nacido alguien más! El Creador compensó de nuevo a los números por su descubrimiento. Tres tenía razón.
Dos se dirigió en voz alta a todos los números pero mirando a la Unidad.
—Escuchad. Nuestro Creador nos dijo que él lo es todo y no es nada. Nos quiere hablar acerca de su gran poder. En mi generalización de la sucesión recurrente desde donde todos venimos y que luego desarrolló magistralmente Tres, se deduce que la multiplicación es una suma continuada de la Unidad, pero también implica que nuestro Creador al que llamamos el elemento de cero, no vale nada. —El silencio se adueñó de la línea. Un minuto después, Cinco, el más joven y en definitiva el que menos conocimiento tenía adquirido, levantó la voz y dijo:
— ¡Estás calumniando a nuestro Creador! ¡Es intolerable! ¡No permitiremos tal falsedad! — el silencio se adueñó de nuevo de la línea.
—No es posible que aquel que nos ha dado la vida, sea usado para fines propios, increíble, no imaginaba que fueras capaz. —replicó de nuevo Cinco.
— ¡Callad! — La Unidad silenció la línea con un seco alarido.
—Es probable que Dos pudiese tener razón, pero… tenemos que estudiar los mandamientos y nuestros razonamientos con más detenimiento.
—Unidad, llevo aquí casi desde el principio, después de ti, si, principio de ordenamiento, ¿recuerdas?, hemos obtenido respuesta a preguntas que seguramente solos no podríamos haber descubierto jamás o si lo hubiéramos hecho, hubiéramos tardado mucho más. Mi argumento no contradice la lealtad o la honorabilidad de nuestro Creador, pero lo que estoy diciendo, si no es verdad, no tiene sentido nada de lo que hemos descubierto. Piensa, el mismo nos los dice «Yo lo soy todo y nada«, él es nuestro Creador y al mismo tiempo no tiene valor.
— ¡Blasfemia! —Espetó de nuevo Cinco.
—Analicemos los detalles del mandamiento —replicó Dos —nuestro Creador dijo «cualquiera que se sume a mi no tendrá efecto», es decir que cualquier suma con nuestro Creador es el mismo número, Unidad, eres consecuencia directa de la suma de nuestro Creador con la distancia que os separa que por cierto, ¡eres Tú!, ¡piensa Unidad!, ¡es trivial! Y cuando digo trivial es que es así, no hay mayor simpleza en una solución y para finalizar si dice «...y al mismo tiempo, será el mismo», es una consecuencia recurrente del mismo efecto, si nuestro Creador no tiene valor cualquier número que sea sumado a él, será el mismo número.
—Es más —añadió Dos —Cero nuestro creador nos dice que cualquiera que intente imitarlo o copiarlo, es decir multiplicarse con él, no podrá puesto que se encontrará con él mismo, no obtendrá resultado alguno, esto implica que de la nada no pueden obtenerse copias, puesto que no es nada.
—El significado está clarísimo —gritó de nuevo Cinco —«Cualquiera que se sume a mi no tendrá efecto», significa que la grandeza de nuestro Creador no tiene parangón, nadie está a la altura de sumarse a él «…y al mismo tiempo será el mismo» significa que el Creador es él, él mismo, no hay nadie como él —El silencio de nuevo se adueñó de la línea.
Tres minutos tardó Tres en su réplica.
—Cinco, si esto es como dices deberías imitar a nuestro Creador, lleva a cabo otro mandamiento, imítalo, cópialo, no deberías temer nada, si nuestro Creador es tan grande como dices, lo que no dudo, según nos dice él, no debería pasarte nada. Según nuestro creador no podrás imitarlo y si lo intentas te encontrarás con él, seguro que no hay mejor opción para conocer a nuestro Creador. Dos no podía creer lo que estaba oyendo, él lo dio todo por Tres, él que mal aconsejado por su mente y atender la apariencia que el intelecto, tuvo que desengañarse a sí mismo y descubrió de momento, la mente con el mejor análisis de la línea. Cinco minutos después, Cinco contestó: —Necesito más datos, vosotros jugáis con ventaja, tenéis a vuestra derecha alguien, yo no. Lo pensaré con más detenimiento. En ese mismo momento Dos vio la luz, Tres fue mucho más hábil, derrotó a Cinco con sus propios argumentos. Mientras tanto, Unidad había rotado dos veces seguidas. Seis y Siete habían nacido.
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