Mapa de la Luna

Mapa de la Luna

¿Conoces el mapa de la Luna? Cada uno de los cráteres o elementos orográficos de la Luna tiene un nombre y aquí te muestro solo unos pocos:

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Y si quieres ver con más detalle alguno de ellos, puedes hacerlo en el siguiente enlace (despliega las capas) donde tienes cualquier información que se te ocurra obre la Luna, con datos proporcionados por LROC (Lunar Reconnaissance Orbiter Camera) del satélite LRO de EE. UU que desde el 2009 orbita en la Luna descargando unos 55 Tb de datos por año. Además Google Earth dispone de un buen mapa lunar donde se pueden observar además de los nombres de la orografía selénica, las expediciones, viajes y restos lunares.

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Detalle de las inmediaciones de Copernicus y Eratóstenes

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Detalle del Apollo 17 desde Google Earth

Casiopea y Cefeo

Casiopea y Cefeo

Casiopea era esposa de Cefeo rey de Etiopía y padres de Andrómeda. Cuenta la mitología que en un encuentro no amistoso entre las Nereidas y Casiopea rivalizando por su especial belleza, las Nereidas pidieron al Dios del Mar Poseidon que enviara a sus costas a Cetus un monstruo marino.

El rey, consultó al oráculo y este le pidió que sacrificara a su hija entregándosela a Cetus y la amarró a un palo en la costa.

El gran guerrero Perseo, a su vuelta de uno de sus viajes, divisó a la joven Andrómeda de la que se enamoró. Pidió su mano a Cefeo a cambio de matar a Cetus,; ambos casos se cumplieron.

Casiopea es una constelación fácil de identificar por formar una W; tiene un ángulo obtuso y otro agudo. Desde su ángulo más agudo, podemos encontrar a Cefeo y a la osa menor, como consecuencia la estrella Polar y el Norte, en la cara trasera del ángulo obtuso está perseo y en la cara trasera del agudo, dos cuadrantes más abajo se encuentra Andrómeda. La mitología en el cosmos y un modo para que no se nos olvide la posición de estas constelaciones.

En la fotografía, tenemos una vista desde la sierra cordobesa del día 23 de Junio con las trazas de las constelaciones Casiopea, Cefeo, Lacerta y las estrellas Polar de la Osa Menor y Daneb de la constelación Cisne.

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Fotografía original

S. M. Leonhard Euler

S. M. Leonhard Euler

A pesar de la infinitud numérica, tenemos unos cuantos números elegantes, admirables, transcendentales, solventes e insolventes, luminosos y sobresalientes como los que voy a mostraros.

Entre ellos está la unidad, lo que le da invariancia a cualquier cosa multiplicada por él incluido él mismo, lo que cualquiera esperaría para subsistir cuando es dividido, la singularidad, la simpleza, la base natural, el principio de casi todo, nuestro 1.

Otro gran número al que le costó salir del armario, el 0; su presencia es inadvertida, su multiplicación desintegra, la división por él multiplica hasta los confines del cosmos y cuando se divide a si mismo, puede pasar cualquier cosa, un número que nació de la nada.

Este número es un irracional, sin conocimiento alguno, un hecho probado por el que le asignó su identidad, su nombre, la letra que lo designará por siglos, el que aparece en la normalidad más normal, en los intereses más compuestos o en la mayoría de las fronteras, ese es e, 2.7182818284590452… el resultado de infinitas adiciones de inversiones factoriales.

Y ahora mi favorito, π, la relación de lo incor-recto, lo que aparece en el sitio menos pensado incluso donde no hay curvas, el que cuando contamos 3 para hacer algo, todavía le queda .14159265358979323846 para empezar y nunca empezaríamos, el que el ser humano empeña su esfuerzo en conocer su fin sabiendo que no lo tiene, la transcendencia conyugal perpetua con e.

Por último, un número que no es número, su complejidad no le permite compartir espacio con la naturalidad o la realidad; su imaginación es inimaginable y sus raíces están basadas en aspectos negativos, pero a pesar de esto, sus primos naturales lo ponen siempre en un buen sitio en espera que algún día pueda salvarlos de su misterio.

Pues este es el equipo que eligió S. M. Leonhard Euler para generar su obra maestra de la formulación, obra en la que cada miembro del equipo tiene su puesto, tiene su función, tiene su trabajo, acompasados y anexados por una sublime igualdad.

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¿Habrá mayor belleza en esta igualdad? ¿Se puede ser más perfecto? ¿Pensaría algún matemático en algún momento de su vida que esto era posible?

Pues sí, ¿Quién iba a decir que la complejidad podría expresarse exponencialmente simple?

La función Phi de Euler

La función Phi de Euler
De Euler me gusta todo, su  vida entera es un monumento intelectual a nuestra civilización. Hoy voy a mostraros una de las prendas de este gran genio y es la función φ de Euler.
Lo primero que debemos saber es que son números coprimos; dos números son coprimos si su máximo común divisor es 1 es decir que no hay ningún número menor que ambos excepto el 1 por el que se puedan dividir ambos.
Pues lo primero que se dió cuenta Euler es que todo número primo tiene p-1 números corpimos con él, ¿no? Si es un número primo quiere decir que solo es divisible por si mismo o por la unidad, de modo que todos los números menores que él son corpimos con este.
Paso siguiente, cuantos coprimos tiene un número primo pk?
Pues no se le ocurre otra cosa que pensar que si un número primo tiene p-1 coprimos, tiene que haber pk-1 que no lo son, por tanto
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y como consecuencia, debe funcionar de igual modo para la función phi de p.
Un poco más, demostró que cumple la función multiplicativa y esto quiere decir que la φ(mn)(m)(n) por tanto un número descompuesto en factores primos, es posible conocer los números coprimos que tiene, desarrollando queda la siguiente joya matemática
PhiEuler02
y con un ejemplo práctico, el número 675 tiene 24 números coprimos menores que él.
FiEuler03
Algún día, después de miles de años, aparecerá otro genio como él para determinar
π(x) o la cantidad de números primos menores que un número, algún día.

Campana sobre campana

Campana sobre campana
Campana sobre campana es un villancico de Navidad el cual todos habremos cantado alguna vez. Y ¿por qué hablamos del villancico de las campanas?
Hablamos de la normalidad, de que estamos inmersos en campanas, de que todo es una campana sobre campana y explico por qué.
campana
Todos sabemos que es la media aritmética, o matemáticamente se trata del cociente del sumatorio de unos valores dividido entre el número de valores. Con esto nos bastaría decir por ejemplo que la media de edad en una empresa es de por ejemplo 35,4 años si sumáramos las edades de todos los componentes y la dividiéramos entre el número de estos.
Por otra parte, cuando hablamos de desviación, hablamos del promedio de desviación que existe entre la media aritmética y todos los valores. Por ejemplo si la edad mínima es de 22 años y la máxima de 55, el promedio es 37 y la desviación 14, indica que las edades son dispares, es decir hay mucha gente con poca edad y mucha gente con mucha edad, indicándonos que la media es de 37 pero que existe un promedio de desviación alto. Si la desviación fuera 1, indicaría que existe mucha gente con 37 años o muy cercana a esa edad.Bien, pues la normalidad, se trata de que cuando el número de muestras, o el número de componentes de una empresa tendiera a infinito, se formaría una campana o seguiría una distribución normal donde la media aritmética estaría representada en el centro de la campana, estando a la derecha los niveles superiores y a la izquierda los inferiores a la media. Si la desviación es grande, la campana será más achatada o platicúrtica, mientras que si la desviación es pequeña, la campana será afilada o leptocúrtica o cuando la distribución es normal, el tipo de curtósis se llama mesocúrtica. Al igual que si tiráramos una moneda al aire infinitas veces, el porcentaje de caras y cruces sería el mismo, cualquier sumatorio de variable aleatoria cuando es un suficientemente grande, sigue una distribución normal.Curtosis
¿Y para qué sirve esto?
La distribución normal además de usarse para modelos estadísticos, se usa en probabilidad y muchos más aspectos de nuestra vida cotidiana de lo que nosotros nos pensamos como la producción, transporte, marketing, economía, etc., de modo que conociendo la distribución normal de una muestra, podemos determinar la probabilidad de que se produzca un hecho en nuestra muestra o conociendo su posición en la campana, podemos conocer el número de casos que se pueden dar. Una curiosidad es que el área encerrada bajo la curva es igual a 1, por eso podemos calcular fácilmente la probabilidad, porque lo que está contenido en la curva es todo el espectro de sucesos o el 100% de casos.

Ejemplos que podríamos aplicar la probabilidad.
Una bombilla tiene un promedio de 5000 horas de vida y una desviación de 100 horas, podríamos calcular la probabilidad de que luzca más de 6000 horas o la probabilidad de que luzca menos de 4000.
Una red de ambulancias de una ciudad tiene un promedio de llegada a un centro sanitario de 30 minutos con una desviación de 5 minutos, podríamos calcular la probabilidad de que las ambulancias lleguen entre 15 y 20 minutos.
Otro ejemplo, en producción, la distribución normal es muy útil. Una empresa farmacéutica produce pastillas de 10mm de diámetro medio con una desviación de 0,5mm. Si la pastilla tiene 9,3mm o 11,5mm de diámetro se rechaza. ¿Qué probabilidad tenemos de que se produzcan pastillas en condiciones óptimas?

Mil ejemplos podría ponerse, de modo que podrían calcularse pérdidas, ganancias, optimizaciones materiales o temporales, etc. en base a la probabilidad.

Concluyendo, somos campanas sobre campanas. En nuestro desorden, todo tiene un orden. Esto se lo debemos entre otros al gran matemático Carl Friedrich Gauss, de ahí el nombre de campana de Gauss.

Solsticios y equinoccios

Solsticios y equinoccios
Los puntos de inflexión del año donde cambian las estaciones, son eso o solsticios o equinoccios.La Tierra tiene una inclinación con respecto a la elíptica de su movimiento de traslación de unos 23,5º, y esta inclinación hace que la luz y la radiación solar incida con un ángulo concreto sobre la Tierra.

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Cuando la incidencia de los rayos solares provoca que el día sea igual que la noche, tenemos un equinoccio que los hay en Otoño que se produce sobre el 23 de Septiembre, equinoccio autumnal y en Primavera, equinoccio primaveral sobre el 21 de Marzo. Cabe decir que las horas de los equinoccios pueden cambiar debido a los años bisiestos.

Cuando se produce la noche más larga y el día más corto, estamos en el Solsticio de Invierno sobre el 21 de Diciembre y cuando la noche es la más corta y el día más largo, estamos en el Solsticio de Verano.

He encontrado un par de videos que representan y explican aceptablemente estos puntos de inflexión anuales.

Planilandia

Planilandia

Allá por el año 1884 un escritor apodado A.Square (un cuadrado), escribió una novela fantástica y muy novedosa para sus tiempos. Uno de los aspectos principales de la novela, es que además de expresar contenido matemático sin formulación alguna, satiriza los valores de la epoca (hablamos del siglo XIX) especialmente el trato a la mujer. Este escritor anónimo tiene nombre y es  Edwin A. Abbott, un pastor inglés amante de las matemáticas y estudioso de Shakespeare.

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Geométricamente, la novela trata de un país alojado en un mundo bidimensional, donde las perspectivas visuales y geométricas desde ese mundo y vistas desde un mundo tridimensional, hacen pensar al lector un poco más allá. En ese pais bidimensional, como es lógico no existe la tercera dimensión, es decir la altura, de modo que todo es plano. Nos relata en el libro el autor que si colocamos una moneda en una mesa y observamos la moneda al ras de esta, estaríamos efectuando una perspectiva de dos dimensiones, pero jamás apreciaríamos las curvas de la moneda, la circunferencia de la moneda, ya que nuestra visión solo apreciaría una línea recta incluso cambiando el ángulo de visión (siempre a ras de la mesa); la única manera de detectar curvas, es mediante sombras que nos hagan vislumbrar zonas más alejadas de la luz o elevar nuestra perspectiva hasta una tercera y ver ese mundo desde la altura pudiendo ver el interior de los objetos bidimensionales, si, si, ver en su interior. Una círculo visto desde la altura, el hueco alojado en su interior es posible visualizarlo, cosa que un ser de dos dimensiones no puede hacer mientras que no intervenga quirúrgicamente a esta.

Durante la novela, narra el paso de un objeto tridimensional a través de las dos dimensiones, de modo que una esfera al pasar por un plano, es visualizado por un habitante de Planilandia primero como un punto (el polo inferior de la esfera), posteriormente verá una recta pequeña, una recta creciendo hasta el ecuador de la esfera y luego esta recta decrece hasta convertirse en un punto (polo superior de la esfera); que raro, ¿no? para un ser bidimensional, el paso de un ser tridimensional por su país, ha provocado que este pensará que un fantasma ha pasado. Por otra parte, un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etc que vivieran en Planilandia, sus vísceras si las tuvieran, son observadas desde la altura por la esfera. Del mismo modo, si existiera un pais de cuatro dimensiones llamado “FourLand“, un objeto de este país que atravesará nuestras tres dimensiones haría que cualquiera de nosotros que vieramos este objeto atravesar nuestro ancho, largo y alto, haría de nosotros un cliente del programa Cuarto Milenio, porque seguramente veríamos un objeto variando su tamaño y forma sin motivo alguno (como le pasó al ser bidimensional viendo la esfera); de aquí cuando en las películas hacen referencia a la cuarta dimensión como algo del más allá sin tener en cuenta el aspecto puramente geométrico.

Cuando hablo de este tema, siempre me gusta hacer referencia a la formación de objetos cuando cambiamos de dimensión. Si pudiéramos estirar un punto en un mundo sin dimensiones a una dimensión, formaríamos una recta donde los objetos solo tendrían una sola vía de movimiento, a un lado u otro. Si cogemos esta recta en toda su longitud y la estiramos hacia dos dimensiones, se formaría un plano (Planilandia), los objetos de este mundo, podrían moverse en cualquier posición del plano, si el plano lo estiramos hacia la altura, lo convertimos en un cubo pasando a ser un objeto de tres dimensiones, pero… si ese objeto lo estiramos hasta esa cuarta dimensión… ¿que ocurrirá? pues no lo sabemos (bueno su nombre si, hipercubo o teseracto), pero lo que si sabemos es como se ve un cubo visto desde 2D, por tanto si podríamos ver como se vería un objeto 4D en nuestras 3D y esto está representado por ejemplo en el monumento a la Constitución de 1978 en Madrid, teseracto de Dalí, el teseracto construido en el agujero negro en la película interestelar,

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Monumento a la Constitución de 1978

Volviendo al libro. Otro aspecto curioso del libro es la sátira con la que dibuja el autor a la sociedad de entonces. El número de vértices de los objetos bidimensionales, indica el grado de intelectualidad de estos, de modo que las mujeres, tal y como eran tratadas entonces, eran rectas, las clases bajas triángulos, si estos eran triángulos isósceles muy agudos, eran soldados y la clase media triángulo equiláteros, los caballeros cuadrados y según aumentaba en número de vértices, las objetos eran más distinguidos socialmente, hexágonos nobleza y los sacerdotes casi círculos cuando el número de vértices y lados era muy elevado. Sobre las mujeres de Planilandia, dice el libro textualmente:

1. Las casas tienen que tener todas una entrada en el lado este para uso exclusivo de las mujeres; todas las mujeres han de entrar por ella «de una forma apropiada y respetuosa» y no por la puerta oeste o de los hombres.

2. Ninguna mujer entrará en un lugar público sin emitir de forma continua su «grito de paz» bajo pena de muerte.

3. Toda mujer de la que se certifique oficialmente que padece del baile de san Vito, de ataques, de catarro crónico acompañado de estornudos violentos, será inmediatamente destruida. En algunos estados hay una ley suplementaria que prohíbe a las mujeres, bajo pena de muerte, andar o estar paradas en un lugar público sin mover la espalda constantemente de derecha a izquierda, para indicar su presencia a los que están detrás de ellas; en otros estados se obliga a las mujeres a que vayan seguidas, cuando viajan, de uno de sus hijos, o de algún criado, o de su marido; otros las confinan completamente a sus casas, salvo durante las festividades religiosas. Pero los más sabios de nuestros círculos, es decir, de nuestros estadistas, han descubierto que multiplicar las restricciones que se aplican a las mujeres no sólo lleva al debilitamiento y la disminución de la especie sino que incrementa también el número de asesinatos domésticos, hasta tal punto que el estado pierde más de lo que gana con un código demasiado represivo.

Esta caracterización de la mujer del siglo XIX,  o a los objetos con más vértices, no es otra que una sátira hacia la sociedad de su pais natal, Abbot a lo largo de su vida, destaca con diferencia las capacidades intelectuales del ser humano sin distinción alguna de sexo, en definitiva, un hombre adelantado a su tiempo geométrica y socialmente.

Les dejo un enlace donde descargar el libro en pdf por si les apetece leerlo, 58 páginas que en una tarde se leen y la peli en inglés.

 

Flatland, un mundo de muchas dimensiones