Campana sobre campana

Campana sobre campana
Campana sobre campana es un villancico de Navidad el cual todos habremos cantado alguna vez. Y ¿por qué hablamos del villancico de las campanas?
Hablamos de la normalidad, de que estamos inmersos en campanas, de que todo es una campana sobre campana y explico por qué.
campana
Todos sabemos que es la media aritmética, o matemáticamente se trata del cociente del sumatorio de unos valores dividido entre el número de valores. Con esto nos bastaría decir por ejemplo que la media de edad en una empresa es de por ejemplo 35,4 años si sumáramos las edades de todos los componentes y la dividiéramos entre el número de estos.
Por otra parte, cuando hablamos de desviación, hablamos del promedio de desviación que existe entre la media aritmética y todos los valores. Por ejemplo si la edad mínima es de 22 años y la máxima de 55, el promedio es 37 y la desviación 14, indica que las edades son dispares, es decir hay mucha gente con poca edad y mucha gente con mucha edad, indicándonos que la media es de 37 pero que existe un promedio de desviación alto. Si la desviación fuera 1, indicaría que existe mucha gente con 37 años o muy cercana a esa edad.Bien, pues la normalidad, se trata de que cuando el número de muestras, o el número de componentes de una empresa tendiera a infinito, se formaría una campana o seguiría una distribución normal donde la media aritmética estaría representada en el centro de la campana, estando a la derecha los niveles superiores y a la izquierda los inferiores a la media. Si la desviación es grande, la campana será más achatada o platicúrtica, mientras que si la desviación es pequeña, la campana será afilada o leptocúrtica o cuando la distribución es normal, el tipo de curtósis se llama mesocúrtica. Al igual que si tiráramos una moneda al aire infinitas veces, el porcentaje de caras y cruces sería el mismo, cualquier sumatorio de variable aleatoria cuando es un suficientemente grande, sigue una distribución normal.Curtosis
¿Y para qué sirve esto?
La distribución normal además de usarse para modelos estadísticos, se usa en probabilidad y muchos más aspectos de nuestra vida cotidiana de lo que nosotros nos pensamos como la producción, transporte, marketing, economía, etc., de modo que conociendo la distribución normal de una muestra, podemos determinar la probabilidad de que se produzca un hecho en nuestra muestra o conociendo su posición en la campana, podemos conocer el número de casos que se pueden dar. Una curiosidad es que el área encerrada bajo la curva es igual a 1, por eso podemos calcular fácilmente la probabilidad, porque lo que está contenido en la curva es todo el espectro de sucesos o el 100% de casos.

Ejemplos que podríamos aplicar la probabilidad.
Una bombilla tiene un promedio de 5000 horas de vida y una desviación de 100 horas, podríamos calcular la probabilidad de que luzca más de 6000 horas o la probabilidad de que luzca menos de 4000.
Una red de ambulancias de una ciudad tiene un promedio de llegada a un centro sanitario de 30 minutos con una desviación de 5 minutos, podríamos calcular la probabilidad de que las ambulancias lleguen entre 15 y 20 minutos.
Otro ejemplo, en producción, la distribución normal es muy útil. Una empresa farmacéutica produce pastillas de 10mm de diámetro medio con una desviación de 0,5mm. Si la pastilla tiene 9,3mm o 11,5mm de diámetro se rechaza. ¿Qué probabilidad tenemos de que se produzcan pastillas en condiciones óptimas?

Mil ejemplos podría ponerse, de modo que podrían calcularse pérdidas, ganancias, optimizaciones materiales o temporales, etc. en base a la probabilidad.

Concluyendo, somos campanas sobre campanas. En nuestro desorden, todo tiene un orden. Esto se lo debemos entre otros al gran matemático Carl Friedrich Gauss, de ahí el nombre de campana de Gauss.

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El hotel infinito de Hilbert

El hotel infinito de Hilbert
Hilbert fue un ilustre matemático alemán del siglo XIX y XX que con una paradoja intentó explicar el significado del infinito.

Hilbert

Dice la paradoja que dos empresarios hoteleros pensaban construir un hotel gigantesco, de modo que tras largas conversaciones, decidieron construir un hotel con infinitas habitaciones. Una vez que lo abrieron, el hotel se llenó de gente, de infinita gente, lo que llevó a ser un gran problema entonces a partir de ese momento se les pidió a todos los huéspedes que se alojaban que existía una condición inicial al alojarse y era que si se les solicitaba cambiar de habitación, tendrían que hacerlo.
Estando el hotel lleno con un cartel en la puerta, llegó un huésped nuevo, pasó y solicitó habitación, a pesar de estar lleno, el recepcionista indicó a todos los huéspedes que se pasaran a la habitación con un número más que la que tenían, una vez hecho esto, la habitación número 1 quedó libre y pudo alojar al nuevo huésped. Por supuesto el último huésped pasó a la habitación más uno de la que tenía, porque no hay una última habitación (es infinito).Al día siguiente, llegó una excursión de infinitos excursionistas y había que alojarlos, de modo el recepcionista de nuevo llamó a los clientes por los altavoces y les pidió que se pasaran al número de habitación que tenían multiplicado por 2, así el que tenía la 8 pasaba a la 16, el de la 9 a la 18 y así hasta el infinito. Con esto consiguió que todas la habitaciones impares quedaran libres y pudo alojar a los turistas. (Esto explica que existen infinitos números pares e infinitos números impares)Al día siguiente vino un agente con infinitas excursiones e infinitos excursionistas en cada excursión y en este caso el ilustrado recepcionista para alojar a todo el personal, comunicó a las habitaciones que tuvieran un número primo o fuera una potencia de este y les pidió que elevaran el número 2 al número de habitación (2^(p^n )) y esa sería la habitación de destino a los huéspedes alojados, con esto consiguió que todos los clientes ocuparan una habitación par mientras que para los que tenía que alojar le asignó un número primo a cada excursión distinto de 2 y a cada turista un número impar y la habitación se calculaba elevando el número de excursión a este número impar (p^m). Como existen infinitos números primos (Euclides los demostró de una manera asombrosa) e infinitos números impares, los clientes pudieron alojarse en el Hotel Infinito.
moebius
Con esto podemos obtener que el infinito, contiene más infinitos además de que existen infinitos más pequeños o más grandes que otros infinitosLa banda o cinta de Möbius es una cinta plana con una sola cara y un solo borde descubierta por el matemático también alemán Möbius y aunque pensemos que el símbolo del infinito proviene de esta forma, parece ser que no es así, que podría serlo, pero no lo es, ya que un siglo antes ya hubo matemáticos que usaban este símbolo (∞) la cual procede de una figura producto de una función de grado cuarto llamada lemniscata que tiene esa forma.

lemniscata

Como curiosidad, la forma de la imagen de reciclado es una cinta de Möbius simbolizando un proceso sin fin.

reciclar
Para terminar con el infinito, una vez vi una imagen de un alumno en un examen que no se si era verdad, pero si lo fue, era para ponerle un 10.
La pregunta era si un límite de una función que tiende a 8 su resultado era infinito que ocurría con el siguiente límite.

limite1entonces limite2

Un artista!

Paralaje estelar

Paralaje estelar
El día 12 de Agosto estuve disfrutando con la Asociación Astronómica Quarks en el Observatorio de la Fresnedilla de una noche de Perseidas, los cuales invitaron al Doctor en Astrofísica Tomás Ruiz, un joven¹ con apariencia más joven aún y del que no creo que tuviera los 30.
Disfruté entre otras cosas de las ganas de divulgar de los componentes de la Asociación, gente que construye sus telescopios, que aman la ciencia (o esa impresión me dio a mi) e intentan que los demás lo hagan, que sus parejas deben amarlos demasiado para compartirlos con el firmamento tanto tiempo, pero si algo me fascinó aún más, fue el joven Doctor con su carrera de Astrofísica (casi nada), pero lo mejor, su empeño en expresar lo difícil y hacerlo entendible para los humanos de a pie y como no, ante mi exultante curiosidad y ganas de aprender, le pregunté por algo en lo que yo no había caído hasta aquel momento (como aquella vez que me pregunté por el color azul del cielo y su respuesta, la dispersión de Rayleight y a la que dedicaré un día un post), ¿como se calculan la distancias hasta las estrellas? y él, se paró, pensó y con una facilidad pasmosa, lo explicó y lo entendí.

Posteriormente, como soy un cansino, me he preocupado más a fondo de como se calcula y para ello además de las explicaciones de este brillante joven, he descubierto someramente que existen varios métodos dependiendo de la lejanía de los astros.Para astros cercanos a la Tierra (cercanos, uhmm, en términos astronómicos) se calcula mediante el paralaje estelar y es el método que voy a explicar, otro para estrellas lejanas pero dentro de nuestra galaxia, se mide el brillo de la luz que despide (también con matemáticas, ya que se miden áreas) y luego para estrellas muy lejanas que pertenecen a otras galaxias mediante las supernovas comparando su brillo y su masa.

Nos vamos a centrar en el paralaje estelar. Llamamos paralaje a la desviación angular de un objeto dependiendo de la posición desde donde lo observemos, por ejemplo, existe un error llamado error de paralaje y es el que se produce cuando miramos una regla de medición desde una posición lateral en vez desde la posición vertical, esta observación produce que mirar sobre la vertical al centímetro 2 sería una medición correcta y mirar oblicuamente mediríamos erróneamente 2.5 cm. Aquí os muestro un dibujo para que os quede más claro.paralaje01

Pues vamos a aplicarlo al firmamento. Lo primero de todo, ¿que es una Unidad Astronómica (UA)?, pues como los terrestres somos así y conocemos muy poco, hemos creado esta unidad y equivale a la distancia de la Tierra al Sol o lo que es lo mismo 149.597.870.700 metros (aproximadamente 150 millones de kilómetros) o el equivalente a 8 minutos 19 segundos de luz a su velocidad; si algo que tenemos claro es la distancia a la estrella de nuestro sistema, el Sol.

Por otra parte, supongamos que estamos en el mes de Enero y vemos una estrella en la bóveda estelar la cual pretendemos medir su distancia a nuestro Sol. En primer lugar marcaremos una línea tomando como referencia otras estrellas más lejanas y las cuales no se mueven con respecto a nuestra posición, seis meses después en Julio, volvemos a trazar una línea hacia nuestra estrella y ahora estamos preparados para calcular ángulos y nuestro dibujo quedaría así deduciendo el ángulo que forma nuestra estrella con la posición inicial de la Tierra

paralaje02

y ahora las matemáticas. La tangente de un ángulo es igual al cociente del cateto opuesto y el cateto continuo, o lo que es lo mismo, al cociente de la distancia de la Tierra al Sol y la distancia del Sol a la estrella, despejamos y

paralaje03

Como comprenderéis, no va a ser todo tan fácil y es que el ángulo que se forma es demasiado pequeño y la medición debe ser muy precisa (hasta el siglo XIX no pudo hacerse) y para efectuar estos cálculos, se usan los segundos de arco o arcosegundos (1/3600 grados sexagesimales. Un arco tiene grados, un grado minutos y un minuto segundos) y en algunos casos milisegundos o microsegundos de arco.

Existe otra unidad llamada parsec que proviene de parallax y second o paralaje en un segundo de arco. Esto significa que un parsec es la distancia que separa una estrella de nuestro sol cuando es vista desde la Tierra con un ángulo de un arcosegundo, con dibujo² mejor

paralaje04

y así y con trigonometría, sabemos que un parsec=206265 UA

paralaje05.png

y como sabemos que un año luz es 9,4607 1015 metros, 1 parsec es igual a 3,2616 años luz. La estrella más cercana que tenemos es Proxima Centauri de la constelación de Centauro, a 4,22 años luz o su equivalente aproximadamente a 1,29 parsec; en realidad está relativamente muy cerca, pero actualmente muy lejos para el ser humano, he efectuado el cálculo y con una nave que viajara a unos 50.000 km/h (13.888 m/s), estaríamos viajando unos 92 años aproximadamente hasta llegar a ella. De momento, vamos a dejarlo.

Por último, quiero acabar como empecé, alabando las bondades divulgativas de esta gran Asociación Astronómica Quarks y el entusiasmo del Doctor Tomás Ruiz Lara al que seguro no le costará trabajar en lo que disfruta transmitiendo.

Saludos

Pd: En wakicode, tengo una pequeña aplicación de enseñanza acerca de la  Programación Orientada a Objetos de un sistema planetario, pero su cálculo es lineal, cuando digo lineal es eso, sin orbitas y solo permite calcular distancias medias entre objetos del sistema, un día de estos, publicaré un sistema más complejo y orbital, estoy en ello.

¹Cuando hablo de juventud, es porque yo la he perdido
²Los dibujos los hago con el editor mongge.

Factorial y primorial de 0

Factorial y primorial de 0

¿Que es un factorial? el factorial de n o lo que es lo mismo n! es el producto de todos los números naturales menores o iguales que n y se expresa comoFactorial01

por ejemplo, el factorial de 1, 1!=1, el factorial de 6 o 6! es igual a 1.2.3.4.5.6=720, o el factorial de 10, 10!=3628800. Pero y si quisieramos calcular el factorial de 0.

Para este caso, podemos expresar lo siguiente

Factorial02

Factorial03

Factorial04

y por tanto llegando a factorial de 0, podemos expresarlo como el cocciente del factorial de 1 y 1

Factorial05

quedando el factorial de 0 igual a 1, fantástico ¿no?

Y ahora ¿que es el primorial? Su definición es la siguiente

Factorial06

si definimos el número 2 como el primer número primo o p1, el 3 el segundo o p2, el 5 el tercero o p3, el 7 el cuarto o py así sucesivamente, decimos que el primorial es el producto de todos los números primos menores o iguales que ese número y se expresa como pn#. También es posible verlo como p#, es decir al igual que el primorial de 7 o 7# = 7.5.3.2=210, pero en su definición tratamos los números primos como elementos de un conjunto y por tanto si decimos p4# es lo mismo que decir 7#, por tanto p4#=p4.p3.p2.p1=7.5.3.2=210.

Y si nos extendemos al mismo caso del factorial de 0, podemos hacer lo mismo

Factorial07Factorial08Factorial09Factorial10Factorial11

de donde podemos decir que el primorial 0 es igual a 1. Ya seguiremos hablando en otro momento del primorial, el cual tiene algunas propiedades curiosas.

Saludos y hasta otra.

Las tres circunferencias (2)

Las tres circunferencias (2)

Voy a exponer como respuesta al anterior post donde se solicitaba calcular el área de la porción encerrada entre tres circunferencias de radio 5, 4 y 3 respectivamente. Lo primero, voy a mostrar un dibujo a escala del ejercicio propuesto.3cir02

En este caso, el triángulo formado por la unión de los tres centros no se trata de un triángulo equilátero, por tanto vamos a calcular el área de este triángulo y posteriormente le restaremos las áreas de los sectores circulares.

Como curiosidad, para dibujar esta figura, debemos calcular el incentro del triángulo, o lo que es lo mismo la intersección de las bisectrices y una vez calculado, se traza una perpendicular desde el incentro hasta el lado del triángulo para obtener el punto de tangencia de las circunferencias o en consecuencia, el radio de cada una de ellas.

Para calcular el área del triángulo podríamos usar por ejemplo

Area triangulo

pero necesitaríamos un ángulo, cosa que me da mucha pereza (por ahora, porque para los sectores habrá que calcularlos). Pues para calcular el área usaremos la fórmula de Herón.

heron

calculando

areaHeron

ahora tenemos que restarle las áreas de los 3 sectores y por tanto calculamos los ángulos de cada triángulo. Calculamos dos de ellos y como la suma de los ángulos de un triángulo es π, se lo restamos y obtenemos el tercero.

3cir03

Ahora si podemos calcular las áreas de los sectores y ahora también vamos a usar otra forma de calcular el área de un sector tratándolo a cada uno como si de un triángulo se tratase “estirando” el arco y manteniendo el radio como altura, de modo que podemos calcular el área del sector como ya he comentado.

Esto es fácil de demostrar para una circunferencia completa donde mide 2πr; si cortáramos la circunferencia y la estiráramos en el suelo y le añadimos una altura de r, podríamos crear un triángulo como base 2πr y como altura r. El área de este triángulo es

3circ05

aquí os expongo un ejemplo de este caso

IgualdadTriangulos

3circ04

 

volviendo a nuestros sectores, calculamos las tres áreas de los tres sectores

3circ06

y ahora nos queda restar al área del triángulo las tres áreas de los sectores. He aquí el resultado.

3circ07

Para el siguiente post, un reto del mismo tema.Si usáramos como triángulo ternas pitagóricas, como podríamos demostrar que con cada terna pitagórica se pueden unir tangencialmente circunferencias cuyo radio es un número entero positivo, es decir que no tiene decimales.

Saludos

Las tres circunferencias

Las tres circunferencias

Hola a tod@s

Os muestro el resultado del artículo publicado en Gaussianos en el que se debe calcular el área que encierran tres circunferencias tangentes.

El enunciado del problema propuesto, invita a calcular el área coloreada en rojo conociendo el diámetro de cada circunferencia que es igual a 10.

Cicunferencias

Si trazamos una recta entre los centros de cada circunferencia, obtenemos un triángulo equilátero de 10 de lado. (Es equilátero porque tiene los tres lados iguales y

Cicunferencias.png

Si calculamos el área del triángulo y le restamos los sectores circulares, obtendremos el área solicitada.

Para calcular el área del triángulo, necesitamos conocer el altura de este y para ello

At3Circunferencias.png

Ahora nos queda conocer el área de los sectores circulares (o de un sector y multiplicarlo por 3). El área del sector es igual al área del circulo proporcional al ángulo y el ángulo es igual a 60 grados ya que el triángulo es equilátero.

A3sccircunferencias.png

Y ahora nos queda restar al área del triángulo el área de los 3 sectores

resultado3circ.png

Y mi propuesta

  1. ¿cual sería el área resultante para el mismo caso si las circunferencias tienen 5, 4 y 3 de radio cada una (demasiado fácil!)?
  2. ¿podríamos crear un método general para cualquier radio?

Un saludo

 

Cuadratura del círculo

Cuadratura del círculo

Os muestro un artículo (aunque un poco antiguo, Marzo de 2013) interesante sobre la imposible cuadratura del círculo en la que según el autor Miguel Ángel Morales Medina Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada, mediante regla y compás, es posible obtener un cuadrado con las dimensiones de una circunferencia (2∏R), pero claro, como es es con regla y compás, no se tiene en cuenta el error asumido en la medición o lo que es lo mismo, en el artículo se obtienen 3 triángulos rectángulos y uno de los catetos de uno de ellos está formado por ∏R, y está claro que los infinitos decimales de ∏, no es posible representarlos gráficamente sin cometer error alguno, pero dicho así, sigue siendo muy curioso.

Os paso la dirección URL original desde Gaussianos, que dicho de paso, es mi WEB favorita!


Artículo escrito por Miguel Ángel Morales Medina Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada desde el blog sobre matemáticas Gaussianos.


¿Quién dijo que la cuadratura del círculo era imposible?

Estamos ya hartos de leer/escuchar que la cuadratura del círculo es algo imposible, que no se puede “cuadrar” un círculo, que es una construcción que no se puede realizar. Lo tenemos tan oído que hasta como frase ha pasado a formar parte de nuestro lenguaje habitual (la propia RAE recoge dentro de “cuadratura” que la cuadratura del círculo se usa para indicar la imposibilidad de algo).

Y así es. Como ya sabemos, Lindemann demostró que \pi es un número trascendente, hecho que implica que la cuadratura del círculo es una construcción imposible…¿Seguro? Sí, siempre que añadamos la coletilla con regla y compás, que en realidad significa utilizando solamente una regla y un compás con las normas para construcciones marcadas en la antigua Grecia (aquí tenéis esas condiciones y también algunas construcciones sencillas con regla y compás). Es decir, la cuadratura del círculo es imposible si como únicas herramientas tenemos una regla y un compás y solamente podemos utilizar las normas que se establecieron en la antigua Grecia. Bien, ¿y qué ocurre si no imponemos esa restricción? ¿Qué pasa con esta construcción si abrimos un poco el campo, si no somos tan restrictivos? Pues…

que la cuadratura del círculo sí es posible. Y no me refiero a aproximaciones más o menos buenas, sino a la construcción exacta. Es decir:

Si eliminamos la restricción de utilizar solamente regla y compás y las normas establecidas en la antigua Grecia, se puede realizar la cuadratura del círculo. Esto es, partiendo de un círculo de área A se puede construir un cuadrado de área A.

Vamos a ver cómo hacerlo.

Partimos de una círculo de radio R (cuya área sera, entonces, \pi R^2)que podamos girar, por ejemplo un rodillo para pintar. Marcamos un punto en él y hacemos girar sobre un papel el rodillo hasta realizar un giro completo. El punto habrá marcado un segmento de longitud 2 \pi R.

Tomamos un segmento de la mitad de longitud que éste, \pi R, lo unimos a otro segmento de longitud igual al radio del círculo inicial, R, y trazamos una semicircunferencia que tenga a ese segmento de longitud \pi R + R como diámetro. Quedaría algo así:

Trazamos ahora desde el punto de unión de los dos segmentos un segmento perpendicular a este diámetro que corte a la semicircunferencia. Se tiene entonces que el triángulo formado por los dos extremos del diámetro y ese punto de corte con la semicircunferencia es un triángulo rectángulo (precisamente en el ángulo que forma en la semicircunferencia en dicho punto de corte):

¿Cuál es la longitud de este segmento? Es sencillo calcularla. Llamemos h a esa longitud. Si nos fijamos en la figura, en realidad no tenemos un triángulo rectángulo, sino tres triángulos rectángulos. Son los que tienen lados con longitudes igual a a,h,\pi R (de hipotenusa a),  h, b, R (de hipotenusa b) y a,b,\pi R +R (de hipotenusa \pi R+R)

Utilizando el teorema de Pitágoras en los tres triángulos obtenemos las siguientes igualdades:

\begin{matrix} a^2=h^2+(\pi R)^2 \\ \\ b^2=h^2+R^2 \\ \\ (\pi R+R)^2=a^2+b^2 \end{matrix}

Sustituyendo los valores de a^2 y b^2 de las dos primeras ecuaciones en la tercera obtenemos lo siguiente:

(\pi R+R)^2=h^2+(\pi R)^2+h^2+R^2=2h^2+(\pi R)^2+R^2

Desarrollando el cuadrado de la izquierda llegamos a:

(\pi R)^2+R^2+2 \pi R^2=2h^2+(\pi R)^2+R^2

de donde simplificando obtenemos:

2 \pi R^2=2h^2 \Rightarrow h^2=\pi R^2 \Rightarrow h=\sqrt{\pi} R

Hemos conseguido construir un segmento de longitud \sqrt{\pi} R:

Construyendo ahora un cuadrado con todos sus lados iguales a ese segmento tendremos por tanto un cuadrado de área:

A=\sqrt{\pi} R \cdot \sqrt{\pi} R=\pi R^2

Es decir, un cuadrado con la misma área que el círculo inicial. Vamos, que hemos conseguido cuadrar el círculo inicial. Toma ya.

Sería interesante que quien conozca alguna construcción de este tipo, cuadratura del círculo sin las restricciones de la regla y el compás y las normas griegas, nos hable de ella en un comentario. Muchas gracias.