¿Que es un sistema de numeración? pues se trata de un conjunto de símbolos que permiten generar cualquier número.y ¿un sistema de numeración posicional? pues se trata de un sistema en el que cada dígito de la cifra tiene un valor el cual está determinado por la base.

La base es el indicador del sistema de numeración, de modo que si hablamos del sistema decimal, hablamos de un sistema en base 10, si lo hacemos del sistema binario, la base es 2 o si el sistema es hexadecimal, la base sería 16. La base también indica el número de símbolos que necesitamos para crear una cifra, por eso en el sistema decimal existen 10 cifras (0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9), en el sistema binario solo 2 (0 y 1) o en el sistema hexadecimal 16 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F, en este último caso como nos quedamos sin números tenemos que echar mano de letras).

Entonces ¿como se representa un número con el sistema de numeración posicional?. Lo vamos a ver mediante un ejemplo en base decimal, para ello vamos a escoger un número al azar y este será el 1729, en realidad no es un número al azar, es el número más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos distintos 1729=1³+12³=9³+10³ y además Ramanujan (al que un día le dedicaré un post) cuando estaba enfermo,  recibió la visita de Hardy y este añadió que había montado en el taxi número 1729, el cual para él era un número aburrido, a lo que Ramanujan contestó con la hermosura de su pequeñez. Volvemos!

Como cuando eramos pequeños, y nos hablaban de las unidades de millar, centenas, decenas y unidades, vamos a expresar este número así pero con su base

1729=1·10³+7·10²+2·10¹+9·10°

si efectuamos las multiplicaciones y posteriormente las sumas, obtendremos el número aburrido. En realidad mateméticamente podemos expresar un número con decimales sistema04

como

sistema03

siendo N el número y B la base

Si ahora escogemos el número E26A, estamos hablando de un número hexadecimal, el cual expresado mediante el sistema de numeración posicional quedaría como (el símbolo E equivale a 14 y A equivale a 10)

E26A=E·16³+2·16²+6·16¹+A·16°= 14·4096+2·256+6·16+10·1=57344+512+96+10=57962

es decir que el número E26A16 equivale al número 5796210. Si abrimos la calculadora  de Windows en modo programador, podemos comprobar que el resultado es el esperado.

Como podemos apreciar el sistema nos ha permitido convertir un número hexadecimal en decimal, pero y al revés, ¿como se haría? para convertir un número decimal al equivalente en otra base, se hace mediante divisiones, por tanto usaremos la divisibilidad para llegar a la conversión (D=d·c+r. Al igual que en una división, calculamos el cociente y el resto y volvemos a hacer los mismo pero ahora el cociente de la anterior división hace de dividendo y así hasta que no podamos realizar más divisiones.

57962=16·3622+10
3622=16·226+6
226=16·14+2
14=16·0+14

una vez que tenemos los resultados, no squed aordenar los restos empezando por el final, 14 equivale a E y 10 equivale a A en el sistema hexadecimal, por tanto

5796210=(14) (2) (6) (10) =E26A16

un último ejemplo con la madre de los sistemas numéricos, el binario. Vamos a convertir el número 1001 a hexadecimal. En este caso primero tenemos que convertir a decimal y posteriormente a hexadecimal.

1011=1·2³+0·2²+1·2¹+1·2°=8+0+2+1=1110

y el 11=16·0+11 o lo que es lo mismo el símbolo equivalente al 11 que es B, por tanto 10112=B16

Y ahora una curiosidad y se trata de los sistemas de numeración posicionales mixtos o combinados, en los que la base va variando dependiendo de la posición del dígito, por ejemplo si hablamos de 1 mes, 2 semanas, 3 días, 2 horas, 30 minutos y 34 segundos, estamos hablando de un sistema de numeración mixto y su especificación en segundos sería

1·2592000+2·604800+3·259200+2·3600+30·60+34·1=4588234

donde la base en cada una de las posiciones varía

y ¿si hablamos del sistema de numeración posicional factorial y primorial?

pues ya vimos lo que es el factorial y el primorial en el anterior post, pero en este caso lo que vamos a usar es el valor para cada n como base respectivamente en cada sistema, a la primera posición se le asigna 1! o 1#, a la segunda posición 2! o 2#, a la tercer 3! o 3#, a la cuarta 4! o 4#.

Centrémonos en sistema mixto primorial

Cualquier número natural  es posible representarlo como descomposición numérica expresando el valor posicional de sus cifras usando el primorial de n, pudiendo estar comprendidos los valores de los coeficientes de cada valor posicional entre 0 y pn+1-1.

Esto representado matemáticamente quedaría como

sistema01
sistema02
es decir el sistema numérico en base primorial, se trata de un sistema numérico de base combinada en los que la base varía en cada posición, siendo esta el número primo n en cada posición y  como valor de la esta el primorial o producto de todos los números primos anteriores;  Por otra parte, mientras que los coeficientes utilizados en un sistema numérico en una base estándar están comprendidos entre 0 y la base menos la unidad en todas sus posiciones mientras que en base primorial, como la base varía en cada posición, los coeficientes usados están definidos entre 0 y el número primo  pn-1.

El número 1729

1729=8·210+1·30+3·6+0·2+1·1=81301#

A continuación se expone el método para descomponer el número 1729 en base primorial.

1729=8·210+49
49=1·30+19
19=3·6+1
1=0·2+1
1=1·1+0

O dividiendo por cada una de las bases posicionales

1729=2·864+1
864=3·288+0
288=5·57+3
57=7·8+1
8=11·0+8

Espero que os haya gustado.

Saludos

Pd: Para los amantes de la programación, he colgado un post sobre este sistema  de numeración mixto implementado en C#

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2 comentarios en “Sistemas de numeración posicional

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