triangulo equilatero

Hace unos días vi un tuit de Eduardo Saenz de Cabezón en el que relataba en una de sus genialidades nuestra existencia ese día sin saber el contenido del tuit. ¿Y que decía el tuit? «Si el triángulo es equilátero y A y B son los puntos medios de sus lados entonces AB/BC es la razón áurea, el número de oro, la divina proporción.»

visto esto es fácil demostrarlo y así lo haré en el post trigonométricamente mediante el teorema del seno y del coseno.

Sabemos que en un triángulo equilátero coincide el ortocentro corte de las tres alturas o perpendiculares desde un vértice al lado contrario, baricentro o intersección de las medianas que son las rectas que unen los vértices con los puntos medios del lado contrario, circuncentro o centro de la circunferencia circunscrita formado por las mediatrices o rectas perpendiculares al punto medio e incentro, centro de la circunferencia inscrita en él formado por la intersección de las bisectrices o rectas que dividen los ángulos en dos ángulos iguales.

Ahora recordemos el teorema del seno

y el teorema del coseno

Y ahora a calcular añadiendo a nuestro triángulo algún dato más. Trazaremos una recta entre el centro, de la circunferencia y el punto medio de un lado y otra recta que une el centro con el punto C que en realidad es el radio de la circunferencia. Para simplificar diremos que el lado del triángulo DF vale 2a y por tanto la mitad a,

El radio es fácil determinarlo, puesto que si calculamos la hipotenusa del triángulo AOF ya que conocemos las características del triángulo equilatero,

ahora también conocemos un lado de nuestro triángulo incognita el lado OC es igual al radio. Del mismo modo que hemos calculado el radio, con el triángulo equilatero anterior, calculamos el lado OA

El ángulo α tiene 30º y β y γ no los conocemos, conocemos 2 lados y un ángulo; usemos el teorema del seno

Conociendo el seno, podemos conocer el coseno mediante la igualdad «la suma del cuadrado del coseno y el cuadrado del seno es la unidad»

Y toca el paso al teorema del coseno

resolviendo la ecuación de segundo grado, obtenemos dos soluciones de AC

ya podemos ver que una de las soluciones, la positiva es un múltiplo del segmento AB=a por el número áureo, de modo que la relación entre el segmento AC y AB es el número aúreo, pero lo que nos interesa era otra proporción, así que seguiremos calculándola. Conocemos AC y AB y consecuentemente BC=AC-AB, así que para las dos soluciones de la ecuación

y volviendo a nuestra relación inicial, si la calculamos para las dos opciones obtenidas, la primera que tiene una solución negativa y por tanto no es válida