Sistemas de numeración posicional

¿Que es un sistema de numeración? pues se trata de un conjunto de símbolos que permiten generar cualquier número.y ¿un sistema de numeración posicional? pues se trata de un sistema en el que cada dígito de la cifra tiene un valor el cual está determinado por la base.

La base es el indicador del sistema de numeración, de modo que si hablamos del sistema decimal, hablamos de un sistema en base 10, si lo hacemos del sistema binario, la base es 2 o si el sistema es hexadecimal, la base sería 16. La base también indica el número de símbolos que necesitamos para crear una cifra, por eso en el sistema decimal existen 10 cifras (0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9), en el sistema binario solo 2 (0 y 1) o en el sistema hexadecimal 16 (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F, en este último caso como nos quedamos sin números tenemos que echar mano de letras).

Entonces ¿como se representa un número con el sistema de numeración posicional?. Lo vamos a ver mediante un ejemplo en base decimal, para ello vamos a escoger un número al azar y este será el 1729, en realidad no es un número al azar, es el número más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos distintos 1729=1³+12³=9³+10³ y además Ramanujan (al que un día le dedicaré un post) cuando estaba enfermo,  recibió la visita de Hardy y este añadió que había montado en el taxi número 1729, el cual para él era un número aburrido, a lo que Ramanujan contestó con la hermosura de su pequeñez. Volvemos!

Como cuando eramos pequeños, y nos hablaban de las unidades de millar, centenas, decenas y unidades, vamos a expresar este número así pero con su base

1729=1·10³+7·10²+2·10¹+9·10°

si efectuamos las multiplicaciones y posteriormente las sumas, obtendremos el número aburrido. En realidad mateméticamente podemos expresar un número con decimales

como

siendo N el número y B la base

Si ahora escogemos el número E26A, estamos hablando de un número hexadecimal, el cual expresado mediante el sistema de numeración posicional quedaría como (el símbolo E equivale a 14 y A equivale a 10)

E26A=E·16³+2·16²+6·16¹+A·16°= 14·4096+2·256+6·16+10·1=57344+512+96+10=57962

es decir que el número E26A₁₆ equivale al número 57962₁₀. Si abrimos la calculadora  de Windows en modo programador, podemos comprobar que el resultado es el esperado.

Como podemos apreciar el sistema nos ha permitido convertir un número hexadecimal en decimal, pero y al revés, ¿como se haría? para convertir un número decimal al equivalente en otra base, se hace mediante divisiones, por tanto usaremos la divisibilidad para llegar a la conversión (D=d·c+r. Al igual que en una división, calculamos el cociente y el resto y volvemos a hacer los mismo pero ahora el cociente de la anterior división hace de dividendo y así hasta que no podamos realizar más divisiones.

57962=16·3622+10
3622=16·226+6
226=16·14+2
14=16·0+14

una vez que tenemos los resultados, no squed aordenar los restos empezando por el final, 14 equivale a E y 10 equivale a A en el sistema hexadecimal, por tanto

57962₁₀=(14) (2) (6) (10) =E26A₁₆

un último ejemplo con la madre de los sistemas numéricos, el binario. Vamos a convertir el número 1001 a hexadecimal. En este caso primero tenemos que convertir a decimal y posteriormente a hexadecimal.

1011=1·2³+0·2²+1·2¹+1·2°=8+0+2+1=11₁₀

y el 11=16·0+11 o lo que es lo mismo el símbolo equivalente al 11 que es B, por tanto 1011₂=B₁₆

Y ahora una curiosidad y se trata de los sistemas de numeración posicionales mixtos o combinados, en los que la base va variando dependiendo de la posición del dígito, por ejemplo si hablamos de 1 mes, 2 semanas, 3 días, 2 horas, 30 minutos y 34 segundos, estamos hablando de un sistema de numeración mixto y su especificación en segundos sería

1·2592000+2·604800+3·259200+2·3600+30·60+34·1=4588234

donde la base en cada una de las posiciones varía

y ¿si hablamos del sistema de numeración posicional factorial y primorial?

pues ya vimos lo que es el factorial y el primorial en el anterior post, pero en este caso lo que vamos a usar es el valor para cada n como base respectivamente en cada sistema, a la primera posición se le asigna 1! o 1#, a la segunda posición 2! o 2#, a la tercer 3! o 3#, a la cuarta 4! o 4#.

Centrémonos en sistema mixto primorial

Cualquier número natural  es posible representarlo como descomposición numérica expresando el valor posicional de sus cifras usando el primorial de n, pudiendo estar comprendidos los valores de los coeficientes de cada valor posicional entre 0 y p_n+1-1.

Esto representado matemáticamente quedaría como

es decir el sistema numérico en base primorial, se trata de un sistema numérico de base combinada en los que la base varía en cada posición, siendo esta el número primo n en cada posición y  como valor de la esta el primorial o producto de todos los números primos anteriores;  Por otra parte, mientras que los coeficientes utilizados en un sistema numérico en una base estándar están comprendidos entre 0 y la base menos la unidad en todas sus posiciones mientras que en base primorial, como la base varía en cada posición, los coeficientes usados están definidos entre 0 y el número primo  p_n-1.

El número 1729

1729=8·210+1·30+3·6+0·2+1·1=81301_#

A continuación se expone el método para descomponer el número 1729 en base primorial.

1729=8·210+49
49=1·30+19
19=3·6+1
1=0·2+1
1=1·1+0

O dividiendo por cada una de las bases posicionales

1729=2·864+1
864=3·288+0
288=5·57+3
57=7·8+1
8=11·0+8

Espero que os haya gustado.

Saludos

Pd: Para los amantes de la programación, he colgado un post sobre este sistema  de numeración mixto implementado en C#

Factorial y primorial de 0

¿Que es un factorial? el factorial de n o lo que es lo mismo n! es el producto de todos los números naturales menores o iguales que n y se expresa como

por ejemplo, el factorial de 1, 1!=1, el factorial de 6 o 6! es igual a 1.2.3.4.5.6=720, o el factorial de 10, 10!=3628800. Pero y si quisieramos calcular el factorial de 0.

Para este caso, podemos expresar lo siguiente

y por tanto llegando a factorial de 0, podemos expresarlo como el cocciente del factorial de 1 y 1

quedando el factorial de 0 igual a 1, fantástico ¿no?

Y ahora ¿que es el primorial? Su definición es la siguiente

si definimos el número 2 como el primer número primo o p₁, el 3 el segundo o p₂, el 5 el tercero o p₃, el 7 el cuarto o p₄ y así sucesivamente, decimos que el primorial es el producto de todos los números primos menores o iguales que ese número y se expresa como p_n#. También es posible verlo como p#, es decir al igual que el primorial de 7 o 7# = 7.5.3.2=210, pero en su definición tratamos los números primos como elementos de un conjunto y por tanto si decimos p₄# es lo mismo que decir 7#, por tanto p₄#=p₄.p₃.p₂.p₁=7.5.3.2=210.

Y si nos extendemos al mismo caso del factorial de 0, podemos hacer lo mismo

de donde podemos decir que el primorial 0 es igual a 1. Ya seguiremos hablando en otro momento del primorial, el cual tiene algunas propiedades curiosas.

Saludos y hasta otra.

Leonard Euler

Pensemos en los millones, en todos los seres humanos con una mente brillante que han vivido y surcado este planeta, en los que nacieron y murieron sin aportar nada a las civilizaciones; imaginemos un esclavo en Egipto o Roma, un agricultor de Mesopotamia, una madre de Fenicia, un herrero de Mongolia, una lavandera Maya, un escritor en Lepanto, un niño rico en 1916, un matemático hindú con una enfermedad posiblemente curable años después, una niña en la Alemania del 41, un estudiante brillante cualquiera y morir de un cáncer cualquiera, un soldado de una guerra cualquiera de un país cualquiera de una era cualquiera. Somos así, el ser humano es así gracias y tristemente a que han muerto tantas y tantas mentes prodigiosas a lo largo de nuestra era. Somos los residuos de la evolución del ser humano a lo largo de la historia y… estamos aquí.

Además de nacer en el lugar y tiempo menos idóneo, deberíamos de haber prosperado casi con la misma progresión que lo habíamos hecho hasta entonces; añadimos las eras oscuras de nuestras civilizaciones  en las que el poder ha encubierto la inteligencia por encima de todo, en las que no han sobrevivido estas mentes, en las que no se ha publicado nada que nos hiciera prosperar nada más allá de lo que supiéramos ayer; esto último contra natura, pero no deja de ser un factor más de la evolución.
No puedo de dejar de pensar en esas millones de mentes que se ha perdido esta especie de vida.

Podría estar escribiendo nombres hasta el infinito de mentes prodigiosas que en los lugares y tiempos menos idóneos superaron el azar pero… mi favorito entre la gran lotería de la evolución de nuestra especie fue Leonhard Euler. Nació en Basilea y murió ciego con 76 años allá por 1783 donde la esperanza de vida no creo que llegara a los 50 años para un varón. Matriculado en la Universidad de la ciudad de su nacimiento con 13 años, iniciado en filosofía pasando por teología, griego y hebreo por recomendación de su padre y como discípulo de Bernoulli, fue descubierto como una mente prodigiosa en las matemáticas.

¿Que habría hecho este planeta sin alguien como Leonhard Euler? ¿Habría esperado esta especie otros 50 años para que  le que tocara la lotería? pues seguramente si, pero en este caso, hemos tenido suerte. Euler nació, creció, estudió y nos dejó en herencia su legado como otras ilustres mentes en la Tierra.

Entre todos sus trabajos, definió el numero e (en su honor), la función indicatriz donde se determina la cantidad de números coprimos de un número, el teorema de Euler en el que un número a con exponente la función indicatriz de un número b tiene como residuo la unidad con el módulo de ese número b, o en teoría de grafos con la que solucionó un problema irresoluble en el que pretendían cruzar los puentes de la ciudad de Königsberg en un solo trazo y volver al punto inicial (algo como el dibujo de la casita con un aspa) o en ingeniería, o en física o astronomía, etc. etc. etc., UN VERDADERO GENIO.
Pero hay dos estudios de Euler que me fascinan. Uno el producto de Euler en el que Bernhard Riemann continuó desarrollando con su función zeta y otra usada mediante la representación exponencial de un número complejo en el que con una simpleza de los más compleja aparecen el número e, pi, i, la unidad y el cero.

La evolución del ser humano ¿Cómo ha perdido entre guerras, enfermedades, desastres naturales, muertes o desconocimiento personas así?
Pues porque entre esas guerras, enfermedades, desastres naturales, muertes o ignorancia también lo han hecho personas que no eran genios, la naturaleza es así. Eso también es uno de los inconvenientes actuales, los tontos también sobreviven.
Entonces, ¿es necesaria la muerte, la maldad, las guerras o que civilizaciones no permitan la investigación para que otras lo hagan exponencialmente? Pienso que tristemente, así es, pero no es lo que deseo. Si esto fuera una empresa en la que pudiéramos decidir una mejora u optimizar el rendimiento en la producción, si pudiéramos decidir quien estudia o vive o quien no, estaríamos alterando el orden natural, sería como eliminar aleatoriamente una estrella de una galaxia la cual no debería hacerlo hasta dentro de millones de años y consecuentemente (o no) posiblemente alteraría el «orden caótico» de esa galaxia, somos lo que somos, porque lo que hemos sido y hemos hecho.
Gracias o desgracia a toda esa maldad evolutiva, surgieron mentes como Leonhard Euler y perdimos otras con mentes más prodigiosas que la suya.

En la actualidad tristemente, tenemos las gran suerte de que la gente, de que el ser humano tarda más en morir, de que la probabilidad de morir cada vez es menor (la probabilidad de morir es mayor de que te toque la lotería), por lo que además  de que la probabilidad de encontrarte un tonto es mayor, la probabilidad de que una mente como la Leonhard,  Benito, Alan, Albert, Isaac, Daniel, Miguel, Carl, Leonardo, Gustavo,  Bernhard, Francisco, Pierre, Severo, Euclides, Federico, Galileo, Miguel Angel, Salvador…. (hasta la cantidad de números primos existentes) pueda nacer, pueda estudiar y pueda deleitarnos con evolucionar esta especie una millonésima más de lo que sabíamos hace 1000 años.