Las probabilidades en los juegos de azar

Las probabilidades en los juegos de azar
Antes de comenzar este artículo, me gustaría hacer referencia al libro con el cual he escrito gran parte de este artículo llamado Anatomía del Juego escrito por el matemático Miguel Córdoba, un libro interesantísimo y apasionante para los amantes de las matemáticas.
anatomia del juego
Para comenzar con el artículo, no es mi pretensión convencerlos para que no jueguen, pero si calculamos la probabilidad para que nos toque un premio en un juego, me parece que es mejor gastarnos el dinero tomando una cerveza con tapita con los amigos de tertulia que seguro la disfrutaremos más. No voy a martirizarles con cálculos matemáticos, pero si les mostraré los resultados de estos.Por ejemplo, la famosa Lotería de Navidad tiene un 84,696% de perder lo que se apuesta, un 10% de no ganar nada con el reintegro y un 5,3% de ganar algo; que toque el gordo tiene una probabilidad de 0.001%. Por otra parte, la probabilidad de que toque el mismo número al año siguiente es de 0,001*0,001 o 0,000001%, esto último quiere decir que la probabilidad es ínfima, pero no quiere decir que no pueda tocar, pero como no ha salido nunca, yo no compraría el número del año anterior.La Lotería del Niño tiene un 62,188% de probabilidad de perder lo apostado, un 30% de no ganar nada y un 7,81% de ganar algo.La Lotería Nacional semanal, tiene un 35,8% de ganar algo mientras que un 64,15% de perderlo.Si tuviéramos que jugar a alguna de estas tres,azar01

podemos deducir que la lotería del Niño es “la que toca más” puesto que tiene más probabilidad de ganar algo y menos probabilidad de perder lo jugado.

En la Lotería Primitiva la suerte se vuelven en contra, ya que la probabilidad de acertar una de 3 es de un 1,7%, una de 4 de un 0,09686%, de 5 0,001845% y la de 6 un 0,0000072%!!!!!, (y luego jugamos). La probabilidad de reintegro es de un 10%. Con todo esto, el 88,13% de los boletos, se van a quedar sin premio! (Eso sí, los premios son mucho más grandes, estaría bueno que no)

Para el bingo, la probabilidad de que nos toque depende del número de jugadores, de modo que si hemos comprado 3 cartones y se juegan 130, la probabilidad será de 3/130 o de un 2,3%. (El bingo esconde matemáticas muy complejas en su interior, no solo este sencillo cálculo).

Una curiosidad del bingo, ¿sobre qué bola se canta línea o bingo? Esto depende del número de cartones, como media con 10 cartones, se necesitarían una media de 77 números para cantar bingo, si pasamos a 100 cartones, el número de bolas pasaría a 67 de media y para que se cante un bingo con menos de 40 bolas, sería necesario una media de un 1 millón de jugadores. Por ejemplo, en cuatro partidas reales de bingo consecutivas donde se jugaron unos 280 cartones de media, ocurrió esto:

  • 1ª partida. Línea en la bola 29. Bingo en la bola 63
  • 2ª partida. Línea en la bola 18. Bingo en la bola 66
  • 3ª partida. Línea en la bola 21. Bingo en la bola 65
  • 4ª partida. Línea en la bola 33. Bingo en la bola 65

La partida 1º y 4ª se cantó la línea un poco más tarde, ya que debe hacerse para ese número de cartones entre la 21 y la 25 más o menos, pero bueno, lo que nos importa es el bingo que se acerca mucho a nuestras previsiones, es decir, que se cumple lo que una distribución normal nos muestra para el número de cartones.

Los bingos suelen jugar un bingo acumulado que se gana cuando se canta bingo por debajo de una bola concreta, que normalmente suele ser la bola nº55, es decir que si el jugador canta bingo antes de que pasen 55 bolas se lleva el ganado y el acumulado, pero la probabilidad de que ocurra esto es bajísima, por lo que suelen ser altos estos bingos como consecuencia de acumular dinero partida tras partida. (Tengo otro artículo dedicado a la probabilidad del bingo que les paso en el siguiente enlace).

Una vez escribí un artículo titulado ¿lotería o salud?, en el que realizaba una comparación sobre la probabilidad de morirse o la de recibir un premio en la Lotería, o lo que es los mismo, cuando decimos “por lo menos tenemos salud”, hablamos con propiedad y efectivamente, la probabilidad de morirse es más alta en un país como España donde tenemos una esperanza de vida muy alta (la segunda mejor del mundo después de Japón!), que la probabilidad de recibir un premio, por tanto y visto lo visto, cada cual que lo piense.

Alguien una vez escribió: “Las loterías son un impuesto del gobierno al desconocimiento de las matemáticas”

Probabilidad en el bingo

Probabilidad en el bingo
En una partida de bingo existen muchas matemáticas escondidas, la más clara es la probabilidad que tenemos para que nos toque un bingo en una partida y es fácil, o lo que es lo mismo al cociente del número de casos posibles, es decir el número de cartones que jugamos y el número de casos totales o el número total de cartones jugados. Si yo juego 2 cartones y se han vendido 200 cartones, tengo un 1% de probabilidad que me toque el bingo, pero existe otra probabilidad más curiosa;
¿podemos preguntarnos ¿Qué probabilidad existe que se cante bingo en una determinada bola? en otras palabras que probabilidad existe para que algún jugador cante bingo en la bola 57.
Pues esto se calcula mediante la distribución hipergeométrica para un solo cartón, mediante la siguiente ecuación siendo N la cantidad de números extraídos y n el número de aciertos, o sea 15 que son los que tiene un cartón para obtener un bingo:
bingo01
(con esto podríamos calcular también la probabilidad de acertar 6 números en la bola 40 por ejemplo)

Por ejemplo la probabilidad para un cartón de cantar bingo en la bola 65, sería de 0,00452826 o de un 0,45% para un cartón jugado, por tanto

bingo02

A continuación un ejemplo de distribución hipergeométrica para 250 y 1000 cartones (en azul y rojo respectivamente) en el que se aprecia que para el caso de 250 a partir de la bola 63 estamos jugando a la cara o cruz (50%) mientras que para 1000 cartones, se produce este efecto en la bola 58.

bingo03

En base a la teoría, vamos a ver un caso real de partidas de bingo en el que se puede apreciar la probabilidad que existía de cantar bingo en cada partida

bingo04

Y el número de bola en el que se cantó bingo en cada una de estas partidas.

bingo05

En azul podemos apreciar la probabilidad que existía en cada partida para alguien que cantó un bingo. El bingo más tempranero, lo encontramos con la bola 52 con un 2,8% de probabilidad y el más tardío con la bola 71 y un 99,57% (Sí o sí). Para el más tempranero, en una situación real de un bingo comercial, es posible que el jugador además de optar al premio de bingo, lo hiciera también al bingo acumulado, ya que en una sala comercial suele estar en ese entorno de extracciones.

Para finalizar y siguiendo con el tema bonguero, les obsequio con una aplicación desarrollada por un servidor y que como no puede ser de otro modo, se trata de un bingo.
bingo01

Entre otras características se pueden enunciar:

  • Interfaz en español e inglés
  • Interfaz gráfica Windows 10
  • Alta visualización del panel numérico, número extraído y últimos números
  • Sencillez de uso mediante control de un solo botón
  • Dictado automatizado de recaudación y expresiones de bingo
  • Configuración predeterminada. Por defecto tiene opciones válidas de juego para ambos idiomas
  • Inclusión de otro tipo de recaudaciones o premios configurables
  • Configuración avanzada. Permite configurar datos de la aplicación , voces, expresiones dictadas por la aplicación o impresión de cartones
  • Inclusión de expresiones configurables por el usuario sobre los números que se van cantando durante la partida, por ejemplo 22 los patitos, 90 el abuelo, 5 por el…, etc. Los que uno quiera 😉
  • Cálculo de progresión de partida y probabilidad de obtención de bingo.
  • Manual de ayuda

La pueden descargar gratuitamente desde mi página WEB wakicode.com, y donde pueden encontrar el enlace de descarga al final del último artículo. Las mates y el desarrollo de software que bien se llevan 😉 !!

Existe un fantástico libro escrito por el matemático Miguel Córdoba Bueno llamado Anatomía del Juego en el que pueden ver y disfrutar el desarrollo matemático de los resultados y del que en otro momento les haré un pequeño resumen sobre las probabilidades de los juegos de azar.

anatomia del juego

La lentitud del tiempo

La lentitud del tiempo

El tiempo es un factor que nosotros apreciamos con un cariño especial, con lentitud en algunos casos, con celeridad en otros, como cuando no lo vemos pasar y los minutos se hacen eternos o cuando miramos el reloj y se nos ha hecho tarde.
La teoría de la relatividad tiene dos teorías digámoslo así, la primera Teoría de la Relatividad Especial la y la segunda la Teoría de la Relatividad General. La primera grosso modo, trata el movimiento de cualquier cuerpo cuando no existen fuerzas gravitatorias y describe el movimiento de los cuerpos a cualquier velocidad (inferior a la velocidad de la luz), la segunda “se carga” la física clásica de Newton, esto no indica que la física newtoniana sea errónea, sino que solo es aplicable desde un punto de vista estático mientras que la de Einstein trata la física para cualquier objeto en movimiento y a cualquier velocidad. Einstein postula que la presencia de masa o energía curva el espacio-tiempo y por tanto que este es relativo en diferentes lugares del universo. El cuestiona la simultaneidad absoluta del tiempo ya que el tiempo viene determinado por el intervalo que tarda en recorrer un rayo de luz la distancia que separa dos relojes sincronizados situados en lugares diferentes del espacio. El tiempo en el espacio en una nave que viaje a una velocidad cercana a la de la luz, iría más lento para el observador que viaja en ella comparado con un observador que permanece inmóvil con respecto a esta; imaginemos un átomo con sus electrones girando en su núcleo a la velocidad de la luz, si ese átomo viajara a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, los electrones en el mismo tiempo recorrerán menos espacio que si lo hacen a velocidad 0, por lo que la materia consumiría mucha más energía para recorrer el mismo espacio y el tiempo se ralentizaría con respecto a un átomo estático, es decir el tiempo depende de la velocidad del objeto.sateliteEn 1977 se comprobó en un satélite estadounidense en el que se colocaron unos relojes atómicos muy exactos; a su regreso se comprobó con otro de similares características que los del satélite se habían retrasado un poco. Esto indica que en el satélite que viaja a más velocidad, el tiempo transcurría más lentamente. Teniendo en cuenta que el tiempo transcurre también más deprisa cuando la fuerza gravitatoria es menor, la compensación de ambos adelantos y retrasos obtenía que en un satélite que va a unos 14000 km/h y orbita a 20.000 km de la tierra, se retrasará unas 39 millonésimas de segundo por día, tiempo inapreciable (depende para que…).1

De hecho, anualmente se realizan correcciones sobre los satélites posicionales GPS, estos satélites nos permiten calcular nuestra posición por el tiempo, emiten una señal de tiempo y nuestro GPS calcula la distancia desde el satélite a nuestra posición por el tiempo que ha tardado, si conocemos la posición de los satélites y realizamos esto más veces con otros satélites, podemos triangular y obtener nuestra posición con gran exactitud, de modo que el tiempo en estos satélites es esencial; la Ley de la Relatividad nos ha permitido conocer este descuadre temporal y poder corregirlo. Existe una paradoja (la del astronauta y los gemelos) que dice: “si un astronauta viaja al centro de la galaxia a velocidades cercanas a la de la luz y volviera, para él habrían pasado unos 60 años y para los terráqueos, unos 4 millones de años.”, y la de los gemelos que “si uno de ellos viaja por el espacio durante 10 años a la mitad de la velocidad de la luz, al volver después de 10 años, el que estaba en la Tierra ha envejecido mucho más!”, curioso ¿no? Para el gemelo astronauta, el tiempo ha pasado mucho más lento que el habitaba en la Tierra, pero ambos tenían la certeza de estar viviendo el mismo tiempo. En la película Interestelar, el protagonista cuando vuelve a la Tierra después de su viaje, ve a su hija envejecida mientras que el seguía estando joven.

Para finalizar, una frase del escritor libanés Gibran Khalil Gibran de su libro el profeta sobre el tiempo:“Y un astrónomo dijo: Maestro, ¿y el Tiempo?
Y él respondió:
Mediríais el tiempo, lo inconmensurable.
Ajustaríais vuestra conducta y aun dirigiríais la ruta de vuestro. espíritu de acuerdo con las horas y las estaciones. Del tiempo haríais una corriente a cuya orilla os sentaríais a observarla rodar.
Sin embargo, lo eterno en vosotros es consciente de la eternidad de la vida.
Y saber que el ayer es sólo la memoria del hoy y el mañana es el ensueño del hoy.
Y que aquello que canta y medita en vosotros mora aún en los límites de aquel primer momento que esparció las estrellas en el espacio.”

Carrera espacial

Carrera espacial

Estamos viviendo la verdadera carrera espacial y no somos conscientes de ello. Desde que la NASA externalizara sus lanzamientos a empresas privadas mediante contratos, los avances e innovaciones en este campos han sido múltiples y variados.

Aunque no es la primera vez que esto ocurre, es decir que NASA contrate a empresas, en esta ocasión el aporte multimillonario de 6800 millones de dolares que en 2014 se inició con un contrato a SpaceX, Boeing, (NASA también tiene contratos con Orbital ATK y Sierra Nevada). Cada vez que sube un astronauta a la estación espacial (ISS), debe hacerlo en la Soyuz rusa, con el coste de 70 millones por asiento de los que Boeing con la nave tripulada CST 100, tiene previsto sustituir con su primer lanzamiento tripulado en 2018, aunque de momento la Soyuz sigue haciendo su función.

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CST 100

Por otra parte, SpaceX con la capsula Dragon V2 como carguero comercial sobre el Falcon 9 CSR 11 está haciendo perfectamente su trabajo enviando y recibiendo material a la ISS. El Falcon 9 concretamente, tienen la peculiaridad de que la primera etapa del cohete es reciclada en Tierra realizando una reentrada en la Tierra y aterrizando verticalmente como aparece en el video. (Lo hace en Tierra y en el mar).

China está llevando a cabo también su programa espacial con la estación espacial Tiangong 2 y la 3 en proyecto.

TG2-Laboratory

Además de las sondas Cassini a Saturno, Juno a Jupiter, New Horizons a Plutón y cinturón de Kuiper, ISS y otras expediciones ya finalizadas, en los próximos años se van a realizar grandes proyectos como envío de tripulación a la Luna, el gran proyecto de SpaceX de crear una colonia en Marte o incluso el turismo espacial, pero como no, sin capital privado no hay grandes saltos.

PD: Existe una página WEB llamada Heavens-Above, donde podemos consultar los pasos visibles de satelites y como no de la Estación Espacial Internacional (ISS). A menudo suelo visualizar el paso de la ISS y todavía me asombro el pensar que a 400 km de altura y a 28000 km/h van 6 personas.

La sonrisa de la Luna

La sonrisa de la Luna
La Luna se ve de diferente modo dependiendo de la latitud del observador.
Así es, dependiendo de la posición del observador, una Luna vista desde el Ecuador tiene forma de sonrisa mientras que nos vamos desplazando más al Polo Norte, se ve más ladeada. Este efecto es producido por el cambio de ángulo desde el Ecuador a la elíptica de la órbita de la Luna. Lo muestro con imágenes que lo entenderán mejor.
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Vista desde el Ecuador

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Vista desde 40º N

Un pais que esté más cerca del Ecuador que España, puede verse la Luna en su cuarto creciente más sonriente y hacia abajo mientras que España la vemos como una C o D.

Pd: Por cierto, una curiosidad para que no se nos olvide. Cuando la Luna está Creciente tiene forma de D y cuando Decrece o está menguante, tiene forma de C. Si es C tiene forma de D. Si es D, tiene forma de C.

La ley de Moore

La ley de Moore

Antes de nada, voy a introducirles en contexto. Allá por el año 1947, dos investigadores estadounidenses, llevaron a cabo investigaciones con materiales semiconductores (en este caso el Germanio) descubriendo el transistor y no fue hasta 1954 cuando se creó el primer transistor de Silicio. El transistor, grosso modo, se trata de un conductor gobernado por un tercer conductor, es decir como si tuviéramos una goma de agua para regar el jardín y entre medias hubiera un pequeño grifo con el que pudiéramos controlar el caudal; esta funcionalidad nos permitió realizar amplificaciones de señales pequeñas que gobernaban otras más grandes mostrando un reflejo de la pequeña en la grande entre otras funciones y como todo artefacto físico contiene en su interior matemáticas que nos asombrarían. Más tarde el hombre se aventuró a crear circuitos integrados y se llamaban así porque integraban varios transistores y aquí es donde el ingeniero Gordon Moore (el señor tan simpático de la foto) en el año 1965 cuando era director de Fairchild Semiconductor (luego fue cofundador de INTEL) escribió un artículo en el que se aventuraba a predecir que el número de transistores se duplicaría cada dos años; si es verdad que el propio Moore fue cambiando la Ley adecuando los valores al futuro, pero no llegó a equivocarse mucho.

Moore

En 1971 el procesador Intel 4004 albergaba en su interior 2300 transistores, los cuales se unían con hilos de 10.000 nanómetros (que para que se hagan una idea, unas 10 veces mayor que un cabello humano). Para el que no esté habituado al nanómetro, en un milímetro caben 1.000.000 de nanómetros! 1m=109 nm, 1mm=106nm

La sexta generación de procesadores del fabricante Intel se encuentra fabricada con tecnología de 14 nanómetros, de modo que en un milímetro caben unos 71500 transistores ( y se están desarrollando chips con tecnología de 7nm), lo que ocurre que además de aprovechar las dos dimensiones, se hace con las tres, de modo que el número de transistores que alberga actualmente un microprocesador doméstico es de 1.300.000.000 transistores o lo que es lo mismo, unos 4.800.000 de transistores en un milímetro cuadrado, (cifras increíbles, aunque para microprocesadores de ámbito profesional, las cifras son mayores).
En cuanto a la velocidad, el procesador 4004 a 740KHz, después de 50 años ha llegado a los 4GHz incrementándose en 5400 veces o en cuanto al rendimiento, los procesadores actuales son 90000 más eficientes que el 4004, ya que el consumo se ha reducido de igual modo. Las operaciones por segundo es otra cuestión a tener en cuenta, mientras que un procesador 8080 de 1974 a 2Mhz realizaba 640.000 instrucciones por segundo, ha llegado a las 159.000.000.000.000 de instrucciones por segundo que se producen ahora! (En la peli Figuras ocultas, usan un IBM de tarjetas perforadas que generaba 23000 instrucciones por segundo!)

s-l300

Si el ritmo llevado a cabo por la Ley de Moore fuera aplicado por ejemplo al consumo de combustible, un vehículo debería consumir 4 litros en toda su vida o si la velocidad de un cohete hubiera evolucionado igual, podríamos llegar a la luna en 60 segundos, pero en estos casos no ha sido así y también es verdad que la Ley de Moore está llegando a su fin, porque las estructuras moleculares están cerca (un átomo medio mide unos 0,34 nm) y ya existen materiales como el grafeno que suplirán este inconveniente y no se duplicará el número de transistores, pero si su capacidad de cálculo ( o los ordenadores cuánticos!).
Actualmente, Samsung espera poder fabricar procesadores de 10 nanómetros a finales de este año, mientras que el salto a los 7 nanómetros aún estaría en desarrollo. En el caso de otra empresa como TSMC, los procesadores de 10nm llegarían en breve, esperando dar el salto a 7nm en 2018. Por otro lado, Intel, espera dar el salto a los 10 nanómetros en 2017, mientras que los 7 nanómetros podrían llegar en 2019.

1999_Pentium4.jpg
(Intel concretamente fabrica sus chips de una manera distinta que el resto; un chip en 10 nanómetros de Intel es más avanzado que los de la competencia, al permitir una menor separación entre transistor y transistor (aunque ocupen el mismo espacio), lo que permite a la compañía integrar más transistores.

Por otra parte, se encuentra la optimización de coste de diseño y fabricación, es decir, ¿interesa fabricar un procesador? Para que se produzca esto, la venta debe estar garantizada y esta situación solo está al alcance de las grandes empresas, de hecho hasta que un producto no quede amortizado, los consumidores que somos nosotros debemos agotar las existencias de fabricación. Un ejemplo la empresa Qualcomm que fabrica los procesadores de nuestros móviles, tiene un procesador de 14 nm (Qualcomm Snapdragon series 800) y si embargo sigue fabricando y aumentando su stock con los de 28 nm cuyos beneficios son mayores (Snapdragon series 600 y 400)

Por último un gráfico de la progresión real de densidad de transistores desde 1970 hasta 2016 y donde la aproximación de Moore quedó patente.
NTransistores.png

Pd: Cuando era pequeño pensaba que en el año 2000 habría pistolas de rayos láser y los coches volarían, uhmmm, esto parece que es más lento de lo que pensaba. ¿interesará que vaya lento?.
Hace unos años vi una película llamada Mimzy en la que objetos con forma de juguete eran enviados al pasado para corregir el futuro y al nivel microscópico estaba escrito en el chip la palabra INTEL, ¿una predicción de la Ley de Moore? Les adjunto un video de la escena de la película

El hotel infinito de Hilbert

El hotel infinito de Hilbert
Hilbert fue un ilustre matemático alemán del siglo XIX y XX que con una paradoja intentó explicar el significado del infinito.

Hilbert

Dice la paradoja que dos empresarios hoteleros pensaban construir un hotel gigantesco, de modo que tras largas conversaciones, decidieron construir un hotel con infinitas habitaciones. Una vez que lo abrieron, el hotel se llenó de gente, de infinita gente, lo que llevó a ser un gran problema entonces a partir de ese momento se les pidió a todos los huéspedes que se alojaban que existía una condición inicial al alojarse y era que si se les solicitaba cambiar de habitación, tendrían que hacerlo.
Estando el hotel lleno con un cartel en la puerta, llegó un huésped nuevo, pasó y solicitó habitación, a pesar de estar lleno, el recepcionista indicó a todos los huéspedes que se pasaran a la habitación con un número más que la que tenían, una vez hecho esto, la habitación número 1 quedó libre y pudo alojar al nuevo huésped. Por supuesto el último huésped pasó a la habitación más uno de la que tenía, porque no hay una última habitación (es infinito).Al día siguiente, llegó una excursión de infinitos excursionistas y había que alojarlos, de modo el recepcionista de nuevo llamó a los clientes por los altavoces y les pidió que se pasaran al número de habitación que tenían multiplicado por 2, así el que tenía la 8 pasaba a la 16, el de la 9 a la 18 y así hasta el infinito. Con esto consiguió que todas la habitaciones impares quedaran libres y pudo alojar a los turistas. (Esto explica que existen infinitos números pares e infinitos números impares)Al día siguiente vino un agente con infinitas excursiones e infinitos excursionistas en cada excursión y en este caso el ilustrado recepcionista para alojar a todo el personal, comunicó a las habitaciones que tuvieran un número primo o fuera una potencia de este y les pidió que elevaran el número 2 al número de habitación (2^(p^n )) y esa sería la habitación de destino a los huéspedes alojados, con esto consiguió que todos los clientes ocuparan una habitación par mientras que para los que tenía que alojar le asignó un número primo a cada excursión distinto de 2 y a cada turista un número impar y la habitación se calculaba elevando el número de excursión a este número impar (p^m). Como existen infinitos números primos (Euclides los demostró de una manera asombrosa) e infinitos números impares, los clientes pudieron alojarse en el Hotel Infinito.
moebius
Con esto podemos obtener que el infinito, contiene más infinitos además de que existen infinitos más pequeños o más grandes que otros infinitosLa banda o cinta de Möbius es una cinta plana con una sola cara y un solo borde descubierta por el matemático también alemán Möbius y aunque pensemos que el símbolo del infinito proviene de esta forma, parece ser que no es así, que podría serlo, pero no lo es, ya que un siglo antes ya hubo matemáticos que usaban este símbolo (∞) la cual procede de una figura producto de una función de grado cuarto llamada lemniscata que tiene esa forma.

lemniscata

Como curiosidad, la forma de la imagen de reciclado es una cinta de Möbius simbolizando un proceso sin fin.

reciclar
Para terminar con el infinito, una vez vi una imagen de un alumno en un examen que no se si era verdad, pero si lo fue, era para ponerle un 10.
La pregunta era si un límite de una función que tiende a 8 su resultado era infinito que ocurría con el siguiente límite.

limite1entonces limite2

Un artista!