Solsticios y equinoccios

Solsticios y equinoccios
Los puntos de inflexión del año donde cambian las estaciones, son eso o solsticios o equinoccios.La Tierra tiene una inclinación con respecto a la elíptica de su movimiento de traslación de unos 23,5º, y esta inclinación hace que la luz y la radiación solar incida con un ángulo concreto sobre la Tierra.

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Cuando la incidencia de los rayos solares provoca que el día sea igual que la noche, tenemos un equinoccio que los hay en Otoño que se produce sobre el 23 de Septiembre, equinoccio autumnal y en Primavera, equinoccio primaveral sobre el 21 de Marzo. Cabe decir que las horas de los equinoccios pueden cambiar debido a los años bisiestos.

Cuando se produce la noche más larga y el día más corto, estamos en el Solsticio de Invierno sobre el 21 de Diciembre y cuando la noche es la más corta y el día más largo, estamos en el Solsticio de Verano.

He encontrado un par de videos que representan y explican aceptablemente estos puntos de inflexión anuales.

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Planilandia

Planilandia

Allá por el año 1884 un escritor apodado A.Square (un cuadrado), escribió una novela fantástica y muy novedosa para sus tiempos. Uno de los aspectos principales de la novela, es que además de expresar contenido matemático sin formulación alguna, satiriza los valores de la epoca (hablamos del siglo XIX) especialmente el trato a la mujer. Este escritor anónimo tiene nombre y es  Edwin A. Abbott, un pastor inglés amante de las matemáticas y estudioso de Shakespeare.

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Geométricamente, la novela trata de un país alojado en un mundo bidimensional, donde las perspectivas visuales y geométricas desde ese mundo y vistas desde un mundo tridimensional, hacen pensar al lector un poco más allá. En ese pais bidimensional, como es lógico no existe la tercera dimensión, es decir la altura, de modo que todo es plano. Nos relata en el libro el autor que si colocamos una moneda en una mesa y observamos la moneda al ras de esta, estaríamos efectuando una perspectiva de dos dimensiones, pero jamás apreciaríamos las curvas de la moneda, la circunferencia de la moneda, ya que nuestra visión solo apreciaría una línea recta incluso cambiando el ángulo de visión (siempre a ras de la mesa); la única manera de detectar curvas, es mediante sombras que nos hagan vislumbrar zonas más alejadas de la luz o elevar nuestra perspectiva hasta una tercera y ver ese mundo desde la altura pudiendo ver el interior de los objetos bidimensionales, si, si, ver en su interior. Una círculo visto desde la altura, el hueco alojado en su interior es posible visualizarlo, cosa que un ser de dos dimensiones no puede hacer mientras que no intervenga quirúrgicamente a esta.

Durante la novela, narra el paso de un objeto tridimensional a través de las dos dimensiones, de modo que una esfera al pasar por un plano, es visualizado por un habitante de Planilandia primero como un punto (el polo inferior de la esfera), posteriormente verá una recta pequeña, una recta creciendo hasta el ecuador de la esfera y luego esta recta decrece hasta convertirse en un punto (polo superior de la esfera); que raro, ¿no? para un ser bidimensional, el paso de un ser tridimensional por su país, ha provocado que este pensará que un fantasma ha pasado. Por otra parte, un triángulo, un cuadrado, un pentágono, etc que vivieran en Planilandia, sus vísceras si las tuvieran, son observadas desde la altura por la esfera. Del mismo modo, si existiera un pais de cuatro dimensiones llamado “FourLand“, un objeto de este país que atravesará nuestras tres dimensiones haría que cualquiera de nosotros que vieramos este objeto atravesar nuestro ancho, largo y alto, haría de nosotros un cliente del programa Cuarto Milenio, porque seguramente veríamos un objeto variando su tamaño y forma sin motivo alguno (como le pasó al ser bidimensional viendo la esfera); de aquí cuando en las películas hacen referencia a la cuarta dimensión como algo del más allá sin tener en cuenta el aspecto puramente geométrico.

Cuando hablo de este tema, siempre me gusta hacer referencia a la formación de objetos cuando cambiamos de dimensión. Si pudiéramos estirar un punto en un mundo sin dimensiones a una dimensión, formaríamos una recta donde los objetos solo tendrían una sola vía de movimiento, a un lado u otro. Si cogemos esta recta en toda su longitud y la estiramos hacia dos dimensiones, se formaría un plano (Planilandia), los objetos de este mundo, podrían moverse en cualquier posición del plano, si el plano lo estiramos hacia la altura, lo convertimos en un cubo pasando a ser un objeto de tres dimensiones, pero… si ese objeto lo estiramos hasta esa cuarta dimensión… ¿que ocurrirá? pues no lo sabemos (bueno su nombre si, hipercubo o teseracto), pero lo que si sabemos es como se ve un cubo visto desde 2D, por tanto si podríamos ver como se vería un objeto 4D en nuestras 3D y esto está representado por ejemplo en el monumento a la Constitución de 1978 en Madrid, teseracto de Dalí, el teseracto construido en el agujero negro en la película interestelar,

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Monumento a la Constitución de 1978

Volviendo al libro. Otro aspecto curioso del libro es la sátira con la que dibuja el autor a la sociedad de entonces. El número de vértices de los objetos bidimensionales, indica el grado de intelectualidad de estos, de modo que las mujeres, tal y como eran tratadas entonces, eran rectas, las clases bajas triángulos, si estos eran triángulos isósceles muy agudos, eran soldados y la clase media triángulo equiláteros, los caballeros cuadrados y según aumentaba en número de vértices, las objetos eran más distinguidos socialmente, hexágonos nobleza y los sacerdotes casi círculos cuando el número de vértices y lados era muy elevado. Sobre las mujeres de Planilandia, dice el libro textualmente:

1. Las casas tienen que tener todas una entrada en el lado este para uso exclusivo de las mujeres; todas las mujeres han de entrar por ella «de una forma apropiada y respetuosa» y no por la puerta oeste o de los hombres.

2. Ninguna mujer entrará en un lugar público sin emitir de forma continua su «grito de paz» bajo pena de muerte.

3. Toda mujer de la que se certifique oficialmente que padece del baile de san Vito, de ataques, de catarro crónico acompañado de estornudos violentos, será inmediatamente destruida. En algunos estados hay una ley suplementaria que prohíbe a las mujeres, bajo pena de muerte, andar o estar paradas en un lugar público sin mover la espalda constantemente de derecha a izquierda, para indicar su presencia a los que están detrás de ellas; en otros estados se obliga a las mujeres a que vayan seguidas, cuando viajan, de uno de sus hijos, o de algún criado, o de su marido; otros las confinan completamente a sus casas, salvo durante las festividades religiosas. Pero los más sabios de nuestros círculos, es decir, de nuestros estadistas, han descubierto que multiplicar las restricciones que se aplican a las mujeres no sólo lleva al debilitamiento y la disminución de la especie sino que incrementa también el número de asesinatos domésticos, hasta tal punto que el estado pierde más de lo que gana con un código demasiado represivo.

Esta caracterización de la mujer del siglo XIX,  o a los objetos con más vértices, no es otra que una sátira hacia la sociedad de su pais natal, Abbot a lo largo de su vida, destaca con diferencia las capacidades intelectuales del ser humano sin distinción alguna de sexo, en definitiva, un hombre adelantado a su tiempo geométrica y socialmente.

Les dejo un enlace donde descargar el libro en pdf por si les apetece leerlo, 58 páginas que en una tarde se leen y la peli en inglés.

 

Flatland, un mundo de muchas dimensiones

Las probabilidades en los juegos de azar

Las probabilidades en los juegos de azar
Antes de comenzar este artículo, me gustaría hacer referencia al libro con el cual he escrito gran parte de este artículo llamado Anatomía del Juego escrito por el matemático Miguel Córdoba, un libro interesantísimo y apasionante para los amantes de las matemáticas.
anatomia del juego
Para comenzar con el artículo, no es mi pretensión convencerlos para que no jueguen, pero si calculamos la probabilidad para que nos toque un premio en un juego, me parece que es mejor gastarnos el dinero tomando una cerveza con tapita con los amigos de tertulia que seguro la disfrutaremos más. No voy a martirizarles con cálculos matemáticos, pero si les mostraré los resultados de estos.Por ejemplo, la famosa Lotería de Navidad tiene un 84,696% de perder lo que se apuesta, un 10% de no ganar nada con el reintegro y un 5,3% de ganar algo; que toque el gordo tiene una probabilidad de 0.001%. Por otra parte, la probabilidad de que toque el mismo número al año siguiente es de 0,001*0,001 o 0,000001%, esto último quiere decir que la probabilidad es ínfima, pero no quiere decir que no pueda tocar, pero como no ha salido nunca, yo no compraría el número del año anterior.La Lotería del Niño tiene un 62,188% de probabilidad de perder lo apostado, un 30% de no ganar nada y un 7,81% de ganar algo.La Lotería Nacional semanal, tiene un 35,8% de ganar algo mientras que un 64,15% de perderlo.Si tuviéramos que jugar a alguna de estas tres,azar01

podemos deducir que la lotería del Niño es “la que toca más” puesto que tiene más probabilidad de ganar algo y menos probabilidad de perder lo jugado.

En la Lotería Primitiva la suerte se vuelven en contra, ya que la probabilidad de acertar una de 3 es de un 1,7%, una de 4 de un 0,09686%, de 5 0,001845% y la de 6 un 0,0000072%!!!!!, (y luego jugamos). La probabilidad de reintegro es de un 10%. Con todo esto, el 88,13% de los boletos, se van a quedar sin premio! (Eso sí, los premios son mucho más grandes, estaría bueno que no)

Para el bingo, la probabilidad de que nos toque depende del número de jugadores, de modo que si hemos comprado 3 cartones y se juegan 130, la probabilidad será de 3/130 o de un 2,3%. (El bingo esconde matemáticas muy complejas en su interior, no solo este sencillo cálculo).

Una curiosidad del bingo, ¿sobre qué bola se canta línea o bingo? Esto depende del número de cartones, como media con 10 cartones, se necesitarían una media de 77 números para cantar bingo, si pasamos a 100 cartones, el número de bolas pasaría a 67 de media y para que se cante un bingo con menos de 40 bolas, sería necesario una media de un 1 millón de jugadores. Por ejemplo, en cuatro partidas reales de bingo consecutivas donde se jugaron unos 280 cartones de media, ocurrió esto:

  • 1ª partida. Línea en la bola 29. Bingo en la bola 63
  • 2ª partida. Línea en la bola 18. Bingo en la bola 66
  • 3ª partida. Línea en la bola 21. Bingo en la bola 65
  • 4ª partida. Línea en la bola 33. Bingo en la bola 65

La partida 1º y 4ª se cantó la línea un poco más tarde, ya que debe hacerse para ese número de cartones entre la 21 y la 25 más o menos, pero bueno, lo que nos importa es el bingo que se acerca mucho a nuestras previsiones, es decir, que se cumple lo que una distribución normal nos muestra para el número de cartones.

Los bingos suelen jugar un bingo acumulado que se gana cuando se canta bingo por debajo de una bola concreta, que normalmente suele ser la bola nº55, es decir que si el jugador canta bingo antes de que pasen 55 bolas se lleva el ganado y el acumulado, pero la probabilidad de que ocurra esto es bajísima, por lo que suelen ser altos estos bingos como consecuencia de acumular dinero partida tras partida. (Tengo otro artículo dedicado a la probabilidad del bingo que les paso en el siguiente enlace).

Una vez escribí un artículo titulado ¿lotería o salud?, en el que realizaba una comparación sobre la probabilidad de morirse o la de recibir un premio en la Lotería, o lo que es los mismo, cuando decimos “por lo menos tenemos salud”, hablamos con propiedad y efectivamente, la probabilidad de morirse es más alta en un país como España donde tenemos una esperanza de vida muy alta (la segunda mejor del mundo después de Japón!), que la probabilidad de recibir un premio, por tanto y visto lo visto, cada cual que lo piense.

Alguien una vez escribió: “Las loterías son un impuesto del gobierno al desconocimiento de las matemáticas”

Probabilidad en el bingo

Probabilidad en el bingo
En una partida de bingo existen muchas matemáticas escondidas, la más clara es la probabilidad que tenemos para que nos toque un bingo en una partida y es fácil, o lo que es lo mismo al cociente del número de casos posibles, es decir el número de cartones que jugamos y el número de casos totales o el número total de cartones jugados. Si yo juego 2 cartones y se han vendido 200 cartones, tengo un 1% de probabilidad que me toque el bingo, pero existe otra probabilidad más curiosa;
¿podemos preguntarnos ¿Qué probabilidad existe que se cante bingo en una determinada bola? en otras palabras que probabilidad existe para que algún jugador cante bingo en la bola 57.
Pues esto se calcula mediante la distribución hipergeométrica para un solo cartón, mediante la siguiente ecuación siendo N la cantidad de números extraídos y n el número de aciertos, o sea 15 que son los que tiene un cartón para obtener un bingo:
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(con esto podríamos calcular también la probabilidad de acertar 6 números en la bola 40 por ejemplo)

Por ejemplo la probabilidad para un cartón de cantar bingo en la bola 65, sería de 0,00452826 o de un 0,45% para un cartón jugado, por tanto

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A continuación un ejemplo de distribución hipergeométrica para 250 y 1000 cartones (en azul y rojo respectivamente) en el que se aprecia que para el caso de 250 a partir de la bola 63 estamos jugando a la cara o cruz (50%) mientras que para 1000 cartones, se produce este efecto en la bola 58.

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En base a la teoría, vamos a ver un caso real de partidas de bingo en el que se puede apreciar la probabilidad que existía de cantar bingo en cada partida

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Y el número de bola en el que se cantó bingo en cada una de estas partidas.

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En azul podemos apreciar la probabilidad que existía en cada partida para alguien que cantó un bingo. El bingo más tempranero, lo encontramos con la bola 52 con un 2,8% de probabilidad y el más tardío con la bola 71 y un 99,57% (Sí o sí). Para el más tempranero, en una situación real de un bingo comercial, es posible que el jugador además de optar al premio de bingo, lo hiciera también al bingo acumulado, ya que en una sala comercial suele estar en ese entorno de extracciones.

Para finalizar y siguiendo con el tema bonguero, les obsequio con una aplicación desarrollada por un servidor y que como no puede ser de otro modo, se trata de un bingo.
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Entre otras características se pueden enunciar:

  • Interfaz en español e inglés
  • Interfaz gráfica Windows 10
  • Alta visualización del panel numérico, número extraído y últimos números
  • Sencillez de uso mediante control de un solo botón
  • Dictado automatizado de recaudación y expresiones de bingo
  • Configuración predeterminada. Por defecto tiene opciones válidas de juego para ambos idiomas
  • Inclusión de otro tipo de recaudaciones o premios configurables
  • Configuración avanzada. Permite configurar datos de la aplicación , voces, expresiones dictadas por la aplicación o impresión de cartones
  • Inclusión de expresiones configurables por el usuario sobre los números que se van cantando durante la partida, por ejemplo 22 los patitos, 90 el abuelo, 5 por el…, etc. Los que uno quiera 😉
  • Cálculo de progresión de partida y probabilidad de obtención de bingo.
  • Manual de ayuda

La pueden descargar gratuitamente desde mi página WEB wakicode.com, y donde pueden encontrar el enlace de descarga al final del último artículo. Las mates y el desarrollo de software que bien se llevan 😉 !!

Existe un fantástico libro escrito por el matemático Miguel Córdoba Bueno llamado Anatomía del Juego en el que pueden ver y disfrutar el desarrollo matemático de los resultados y del que en otro momento les haré un pequeño resumen sobre las probabilidades de los juegos de azar.

anatomia del juego

La lentitud del tiempo

La lentitud del tiempo

El tiempo es un factor que nosotros apreciamos con un cariño especial, con lentitud en algunos casos, con celeridad en otros, como cuando no lo vemos pasar y los minutos se hacen eternos o cuando miramos el reloj y se nos ha hecho tarde.
La teoría de la relatividad tiene dos teorías digámoslo así, la primera Teoría de la Relatividad Especial la y la segunda la Teoría de la Relatividad General. La primera grosso modo, trata el movimiento de cualquier cuerpo cuando no existen fuerzas gravitatorias y describe el movimiento de los cuerpos a cualquier velocidad (inferior a la velocidad de la luz), la segunda “se carga” la física clásica de Newton, esto no indica que la física newtoniana sea errónea, sino que solo es aplicable desde un punto de vista estático mientras que la de Einstein trata la física para cualquier objeto en movimiento y a cualquier velocidad. Einstein postula que la presencia de masa o energía curva el espacio-tiempo y por tanto que este es relativo en diferentes lugares del universo. El cuestiona la simultaneidad absoluta del tiempo ya que el tiempo viene determinado por el intervalo que tarda en recorrer un rayo de luz la distancia que separa dos relojes sincronizados situados en lugares diferentes del espacio. El tiempo en el espacio en una nave que viaje a una velocidad cercana a la de la luz, iría más lento para el observador que viaja en ella comparado con un observador que permanece inmóvil con respecto a esta; imaginemos un átomo con sus electrones girando en su núcleo a la velocidad de la luz, si ese átomo viajara a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, los electrones en el mismo tiempo recorrerán menos espacio que si lo hacen a velocidad 0, por lo que la materia consumiría mucha más energía para recorrer el mismo espacio y el tiempo se ralentizaría con respecto a un átomo estático, es decir el tiempo depende de la velocidad del objeto.sateliteEn 1977 se comprobó en un satélite estadounidense en el que se colocaron unos relojes atómicos muy exactos; a su regreso se comprobó con otro de similares características que los del satélite se habían retrasado un poco. Esto indica que en el satélite que viaja a más velocidad, el tiempo transcurría más lentamente. Teniendo en cuenta que el tiempo transcurre también más deprisa cuando la fuerza gravitatoria es menor, la compensación de ambos adelantos y retrasos obtenía que en un satélite que va a unos 14000 km/h y orbita a 20.000 km de la tierra, se retrasará unas 39 millonésimas de segundo por día, tiempo inapreciable (depende para que…).1

De hecho, anualmente se realizan correcciones sobre los satélites posicionales GPS, estos satélites nos permiten calcular nuestra posición por el tiempo, emiten una señal de tiempo y nuestro GPS calcula la distancia desde el satélite a nuestra posición por el tiempo que ha tardado, si conocemos la posición de los satélites y realizamos esto más veces con otros satélites, podemos triangular y obtener nuestra posición con gran exactitud, de modo que el tiempo en estos satélites es esencial; la Ley de la Relatividad nos ha permitido conocer este descuadre temporal y poder corregirlo. Existe una paradoja (la del astronauta y los gemelos) que dice: “si un astronauta viaja al centro de la galaxia a velocidades cercanas a la de la luz y volviera, para él habrían pasado unos 60 años y para los terráqueos, unos 4 millones de años.”, y la de los gemelos que “si uno de ellos viaja por el espacio durante 10 años a la mitad de la velocidad de la luz, al volver después de 10 años, el que estaba en la Tierra ha envejecido mucho más!”, curioso ¿no? Para el gemelo astronauta, el tiempo ha pasado mucho más lento que el habitaba en la Tierra, pero ambos tenían la certeza de estar viviendo el mismo tiempo. En la película Interestelar, el protagonista cuando vuelve a la Tierra después de su viaje, ve a su hija envejecida mientras que el seguía estando joven.

Para finalizar, una frase del escritor libanés Gibran Khalil Gibran de su libro el profeta sobre el tiempo:“Y un astrónomo dijo: Maestro, ¿y el Tiempo?
Y él respondió:
Mediríais el tiempo, lo inconmensurable.
Ajustaríais vuestra conducta y aun dirigiríais la ruta de vuestro. espíritu de acuerdo con las horas y las estaciones. Del tiempo haríais una corriente a cuya orilla os sentaríais a observarla rodar.
Sin embargo, lo eterno en vosotros es consciente de la eternidad de la vida.
Y saber que el ayer es sólo la memoria del hoy y el mañana es el ensueño del hoy.
Y que aquello que canta y medita en vosotros mora aún en los límites de aquel primer momento que esparció las estrellas en el espacio.”

Carrera espacial

Carrera espacial

Estamos viviendo la verdadera carrera espacial y no somos conscientes de ello. Desde que la NASA externalizara sus lanzamientos a empresas privadas mediante contratos, los avances e innovaciones en este campos han sido múltiples y variados.

Aunque no es la primera vez que esto ocurre, es decir que NASA contrate a empresas, en esta ocasión el aporte multimillonario de 6800 millones de dolares que en 2014 se inició con un contrato a SpaceX, Boeing, (NASA también tiene contratos con Orbital ATK y Sierra Nevada). Cada vez que sube un astronauta a la estación espacial (ISS), debe hacerlo en la Soyuz rusa, con el coste de 70 millones por asiento de los que Boeing con la nave tripulada CST 100, tiene previsto sustituir con su primer lanzamiento tripulado en 2018, aunque de momento la Soyuz sigue haciendo su función.

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CST 100

Por otra parte, SpaceX con la capsula Dragon V2 como carguero comercial sobre el Falcon 9 CSR 11 está haciendo perfectamente su trabajo enviando y recibiendo material a la ISS. El Falcon 9 concretamente, tienen la peculiaridad de que la primera etapa del cohete es reciclada en Tierra realizando una reentrada en la Tierra y aterrizando verticalmente como aparece en el video. (Lo hace en Tierra y en el mar).

China está llevando a cabo también su programa espacial con la estación espacial Tiangong 2 y la 3 en proyecto.

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Además de las sondas Cassini a Saturno, Juno a Jupiter, New Horizons a Plutón y cinturón de Kuiper, ISS y otras expediciones ya finalizadas, en los próximos años se van a realizar grandes proyectos como envío de tripulación a la Luna, el gran proyecto de SpaceX de crear una colonia en Marte o incluso el turismo espacial, pero como no, sin capital privado no hay grandes saltos.

PD: Existe una página WEB llamada Heavens-Above, donde podemos consultar los pasos visibles de satelites y como no de la Estación Espacial Internacional (ISS). A menudo suelo visualizar el paso de la ISS y todavía me asombro el pensar que a 400 km de altura y a 28000 km/h van 6 personas.

La sonrisa de la Luna

La sonrisa de la Luna
La Luna se ve de diferente modo dependiendo de la latitud del observador.
Así es, dependiendo de la posición del observador, una Luna vista desde el Ecuador tiene forma de sonrisa mientras que nos vamos desplazando más al Polo Norte, se ve más ladeada. Este efecto es producido por el cambio de ángulo desde el Ecuador a la elíptica de la órbita de la Luna. Lo muestro con imágenes que lo entenderán mejor.
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Vista desde el Ecuador

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Vista desde 40º N

Un pais que esté más cerca del Ecuador que España, puede verse la Luna en su cuarto creciente más sonriente y hacia abajo mientras que España la vemos como una C o D.

Pd: Por cierto, una curiosidad para que no se nos olvide. Cuando la Luna está Creciente tiene forma de D y cuando Decrece o está menguante, tiene forma de C. Si es C tiene forma de D. Si es D, tiene forma de C.