De todos es bien conocida la sucesión de Fibonacci y la multitud de artículos que existen al respecto, películas o libros que hacen referencia o incluso nuestra sabia naturaleza expresándola en su entorno, pero en este caso, voy a escribir sobre esta sucesión y su espiral porque me apasiona el tema de las sucesiones recursivas y con el fin de enlazar este artículo con otro que crearé en mi otro blog sobre desarrollo de software.

¿Quien era Fibonacci? El conocido Fibonacci fue un matemático del siglo XIII cuyo nombre en realidad era Leonardo de Pisa, pero su padre, apodado como Bonacci, Leonardo heredó en parte el apodo de su padre como hijo de Bonacci (filius Bonacci), Fibonacci.

Fibonacci es famoso por su sucesión, pero no hay que menospreciar su contribución a que hoy tengamos nuestro sistema de numeración posicional; el fue el que difundió por Europa el sistema de numeración indo-arábigo con el cero incluido con su libro llamado Liber Abaci, (los números arábigos procedían de la India y los árabes los difundieron por Europa), de modo que nuestro sistema de numeración actual se lo debemos en parte a Fibonacci.

Pero si hay algo por lo que se le conoce es por la sucesión que lleva su nombre o problema de los conejos que decía:

“Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.”

y esto aplicado matemáticamente no es ni más ni menos que cada resultado obtenido es la suma de los dos últimos resultados.

espiral01

o si lo hacemos numéricamente y partiendo de los dos primeros números el 0 y el 1

espiral02

y calculando

espiral03

obteniendo la conocida sucesión 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …., pero existe otra forma para mi más bonita que es la forma explícita de esta sucesión o lo que es lo mismo, la conversión desde la forma recursiva y en la cual aparece el número áureo; antes de ver esta conversión, ¿que es número áureo?

El número áureo, φ (fi), proporción divina, es un número irracional como lo es π, como lo es e, como lo pueda ser la raíz de 2 y equivale a

espiral04

o también como la relación que existe si la suma de dos números y el primero es igual al cociente de ambos, entonces se dice que cumplen la proporción áurea.

espirlal06

espiral05

(6765 y 4181 son números de la sucesión de Fibonacci!)

y ¿por qué es tan famoso este número? pues porque es el escultores, arquitectos, pintores, etc. lo utilizaron para sus obras conociendo que estas guardarían una perfecta relación. Leonardo Da Vinci es una muestra de ello cuando leyó una obra de Marco Vitrubio, un famoso arquitecto de la época y compuso su propia obra sobre la proporción áurea en el cuerpo humano, creando al Hombre de Vitrubio.

espiral07.jpg

Pues ahora que sabemos que es el número áureo, vamos al desarrollo de la forma explícita.

la ecuación de recurrencia de la sucesión de Fibonacci, es usando como grado de la ecuación el menor de los elementos que participan en la recursividad, en este caso el 2 de fn-2 y asignándolo al término mayor donde fn equivale a x2, fn-1 a x y fn-2 a x0 o 1.

espiral06

obtenemos las raíces de esta ecuación con la fórmula que aprendimos de pequeños

espiral08

una ve obtenidas las raices podemos expresar nuestra ecuación como

espiral09

y ahora como teníamos dos valores iniciales f0=0 y f1=1, podemos exponer un sistema de ecuaciones de la forma

espiral10.png

o

espiral11

y resolviendo (evito los cálculos)

espiral12

de modo que nuestra ecuación quedaría como

espiral13

tomando el valor de φ y reduciendo

espiral14

por ejemplo el término 10 sería igual a

espiral15

fantástico ¿no?.

y después de tantas vueltas, a nuestro tema, la espiral de Fibonacci. ¿qué es la espiral de Fibonacci? Es una espiral logarítmica y la vamos a mostrar gráficamente y para ello en primer lugar he creado un gif con la construcción de cuadrados cuyo lado es igual a los términos de la sucesión de Fibonacci, así si el término sexto es igual a 8, sería la suma de 5 y 3 o generando un cuadrado con un lado ocupado por otros dos cuadrados de 3 y 5 de lado.

espiral16.gif

y ahora he creado la espiral en base a estos cuadrados

Espiral17.gif

Y expresado matemáticamente mediante su ecuación polar como otras ecuaciones de espirales  logarítmicas.

espiral18

El siguiente post sobre este tema, lo veréis en wakicode, donde podremos ver la construcción de esta figura con XAML o mediante código.

Saludos

Pd: Os adjunto una forma facílisima de obtener los términos de la sucesión de Fibonnaci con Excel. Escribimos el 0 y el 1 como primeros términos, sumamos ambos, si el 0 está en la casilla D9 y el 1 en la D10, en la casilla D11 escribimos =D9+D10. Arrastramos y Excel se encarga de sumar siempre los dos términos anteriores.

Espiral22.gif

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Un comentario en “La espiral de Fibonacci

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