¿Podríamos demostrar que con cualquier triángulo rectángulo cuyas medidas sean una terna pitagórica, SIEMPRE pueden albergar en sus vertices tres circunferencias unidas tangencialmente cuyo radio es un número entero positivo?

Lo primero de todo, ¿sabemos que es una terna pitagórica? pues se trata de un triángulo rectángulo cuyas medidas son números enteros positivos como por ejemplo un triángulo con sus catetos que miden 4 y 3 y obteniendo la raiz de la suma de sus cuadrados (Teorema de Pitágoras) se obtiene que la hipotenusa es 5.
Terna01
Terna02
Es curioso que esta igualdad solo es posible para n=2, mientras que para n>2 no existe tal igualdad (Último Teorema de Fermat); esto fue demostrado  por Andrew Wiles en 1995 para cualquier n después de 358 años (desde 1637, hubo desmotraciones particulares para n=3 por Leonhard Euler y otros matemáticos, pero no una generalizada).
De hecho, la igualdad en la imagen de este post con Homer Simpson es errónea, en la que es igual si tratamos el resultado como exponencial
Terna03
pero la diferencia real entre los resultados
1782¹²=1,0253978356226336348075504629482e+39
1841¹²=1,5158124229919555414811194951942e+39
1782¹² + 1841¹²=2,5412102586145891762886699581424e+39
1922¹² =2,5412102593148014108192786496437e+39
parecido pero no igual, la diferencia es de 700212234530608691501223040959.

Volviendo a nuestras ternas pitagóricas, (menos mal!).
Sabemos que una terna solo puede tener o tres números pares o dos impares y uno par y esto es por lo siguiente:
Un número par al cuadrado, da otro número par y un impar al cuadrado, otro impar.
Si hacemos una tabla donde expresemos las posibles sumas de números pares e impares, podremos decir que:

impar + impar = par
impar + par = impar
par + impar = impar
par + par = par

de aquí podemos ver que solo es posible obtener sumas cuando todos son pares o cuando dos de ellos son impares y uno par.
Ahora vamos a centrarnos en el problema.
Terna04

a² + b² = c²

determinando que x, y, z son los radios de cada circunferencia podemos expresar

a = x + z
b = y + z
c = x + y

despejando este sistema de tres ecuaciones nos queda para cualquiera de los tres casos
Terna05
de modo que para que los radios de las circunferencias sean valores enteros positivos, el término de la derecha debe ser un número par para que al dividirlo por 2 nos de un entero o lo que es lo mismo, que sea divisible por 2. Pues sabiendo que solo existen ternas con tres pares o dos impares y un par, veamos que ocurre

impar + impar – par = par
impar + par – impar = par
par + impar – impar = par
par + par + par = par

Así podemos ver el resultado siempre es un número par y por tanto divisible por 2 y como consecuencia de la demostración en la que los radios son números enteros.

como ejemplo podemos dibujar el triángulo equilátero de la terna 28² + 45² = 53² de la cual calculando los radios de las circunferencias tangentes, obtenemos que x=35, y=18  y z=10.

Terna06

Espero que os haya gustado.

Un saludo

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