Voy a exponer como respuesta al anterior post donde se solicitaba calcular el área de la porción encerrada entre tres circunferencias de radio 5, 4 y 3 respectivamente. Lo primero, voy a mostrar un dibujo a escala del ejercicio propuesto.3cir02

En este caso, el triángulo formado por la unión de los tres centros no se trata de un triángulo equilátero, por tanto vamos a calcular el área de este triángulo y posteriormente le restaremos las áreas de los sectores circulares.

Como curiosidad, para dibujar esta figura, debemos calcular el incentro del triángulo, o lo que es lo mismo la intersección de las bisectrices y una vez calculado, se traza una perpendicular desde el incentro hasta el lado del triángulo para obtener el punto de tangencia de las circunferencias o en consecuencia, el radio de cada una de ellas.

Para calcular el área del triángulo podríamos usar por ejemplo

Area triangulo

pero necesitaríamos un ángulo, cosa que me da mucha pereza (por ahora, porque para los sectores habrá que calcularlos). Pues para calcular el área usaremos la fórmula de Herón.

heron

calculando

areaHeron

ahora tenemos que restarle las áreas de los 3 sectores y por tanto calculamos los ángulos de cada triángulo. Calculamos dos de ellos y como la suma de los ángulos de un triángulo es π, se lo restamos y obtenemos el tercero.

3cir03

Ahora si podemos calcular las áreas de los sectores y ahora también vamos a usar otra forma de calcular el área de un sector tratándolo a cada uno como si de un triángulo se tratase “estirando” el arco y manteniendo el radio como altura, de modo que podemos calcular el área del sector como ya he comentado.

Esto es fácil de demostrar para una circunferencia completa donde mide 2πr; si cortáramos la circunferencia y la estiráramos en el suelo y le añadimos una altura de r, podríamos crear un triángulo como base 2πr y como altura r. El área de este triángulo es

3circ05

aquí os expongo un ejemplo de este caso

IgualdadTriangulos

3circ04

 

volviendo a nuestros sectores, calculamos las tres áreas de los tres sectores

3circ06

y ahora nos queda restar al área del triángulo las tres áreas de los sectores. He aquí el resultado.

3circ07

Para el siguiente post, un reto del mismo tema.Si usáramos como triángulo ternas pitagóricas, como podríamos demostrar que con cada terna pitagórica se pueden unir tangencialmente circunferencias cuyo radio es un número entero positivo, es decir que no tiene decimales.

Saludos

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