Los números (y lo inversos) de Fibonacci

Comparto un artículo desde Cuaderno de Cultura Científica (@CCCientifica) escrito por Marta Macho Stadler profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU acerca de una división y su curioso y bello resultado. (Artículo original)


Los números (y los inversos) de Fibonacci

Si dividimos 1 entre el número

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999,

obtenemos la siguiente expresión decimal:

Imagen obtenida en Futility Closet.
Imagen obtenida en Futility Closet.

Los decimales obtenidos tras la división se han ordenado en bloques de veinticuatro dígitos para poder observar un sorprendente fenómeno: cada uno de estos bloques corresponde a un término –¡y además están ordenados!– de la sucesión de Fibonacci hasta el que ocupa el lugar 116. Estos números son:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 43349443, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 1940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, 573147844013817084101, 927372692193078999176, 1500520536206896083277, 2427893228399975082453, 3928413764606871165730, 6356306993006846248183, 10284720757613717413913, 16641027750620563662096, 26925748508234281076009, 43566776258854844738105, 70492524767089125814114, 114059301025943970552219, 184551825793033096366333, 298611126818977066918552, 483162952612010163284885.

Para entender la razón de este ‘extraño’ fenómeno, vamos a fijarnos en las siguientes divisiones:

  1. 1/89 = 0,011235…, es decir, en la expresión decimal –y al considerar bloques de un dígito– aparecen los seis primeros términos de la sucesión de Fibonacci. El siguiente número sería el 9 que no coincide con el séptimo término de la sucesión de Fibonacci.
  2. 1/9899 = 0,0001010203050813213455…, es decir, en la expresión decimal –y al pensar en bloques de dos dígitos– aparecen los once primeros términos de la sucesión de Fibonacci. En la división, el siguiente bloque de dos dígitos es 90 –en vez del 89, que es el duodécimo término de la sucesión de Fibonacci–.
  3. 1/998999 = 0,000001001002003005008013021034055089144233377610…, es decir, en la expresión decimal –y considerando bloques de tres dígitos– aparecen los dieciséis primeros términos de la sucesión de Fibonacci. En esta división, el siguiente bloque de tres dígitos es 988, que no coincide con el decimoséptimo término de la sucesión de Fibonacci, que es 987.

Los divisores de las anteriores operaciones –los números 89, 9.899, 998.999, etc., y por supuesto, el número

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999–,

se denominan números inversos de Fibonacci. ¿Por qué?

Recordemos que los términos de la sucesión de Fibonacci se definen usualmente de manera recurrente: f0 = 0, f1= 1, y fn+2 = fn+1 + fn si n ≥ 0. Es decir, fijados los dos primeros, cada término es la suma de los dos anteriores. Pero también se pueden introducir a través de la llamada función generadorade la sucesión, es decir, la serie formal de potencias cuyos coeficientes son los elementos de la sucesión dada.

Los números de Fibonacci tienen como función generadora G(x)=x/(1-x-x2); dicho de otro modo, cuando G(x) se expresa en potencias de x, posee como coeficientes los términos de la sucesión de Fibonacci:

fibonacciObservemos finalmente que G(1/10)=10/89, G(1/100)=100/9899, G(1/1000)=1000/998999, y en general, G(1/10n)=10n/(102n-10n-1), es decir, los números inversos de Fibonacci son justamente los de la forma 102n10n1.

El divisor de la división propuesta al principio:

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999

es precisamente el número inverso de Fibonacci correspondiente a n=24. ¡Curioso y precioso!

Sobre la autora: Marta Macho Stadler es profesora de Topología en el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU, y colaboradora asidua en ZTFNews, el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de esta universidad.


 

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